Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
условия и представляют собой уравнения материального процесса, если
последний может быть описан четырьмя независимыми друг от друга
дифференциальными уравнениями15.
Г. "МАТЕРИАЛЬНЫЕ" ПРОЦЕССЫ
Математические вспомогательные средства, изложенные в разделе Б, дают нам
возможность сразу обобщить физические законы (гидродинамику,
электродинамику Максвелла), сформулированные в специальной теории
относительности, так чтобы они удовлетворяли общей теории
относительности. При этом общий принцип относительности, не налагая
никаких новых ограничений, дает возможность точно описать влияние
гравитационного поля на все процессы без привлечения каких-либо новых
гипотез.
Из этого обстоятельства следует, что не нужно вводить никаких
предположений относительно физической природы материи (в более узком
смысле). В частности, может остаться открытым вопрос о том, смогут ли
теория электромагнитного поля и теория гравитационного поля совместно
служить базой для теории материи. Общий постулат относительности в
принципе ничего не может сказать об этом. В процессе развития теории
выяснится, смогут ли электродинамика и учение о тяготении вместе дать то,
что не удавалось одной лишь первой теории.
§ 19. Уравнения Эйлера для адиабатических жидкостей в отсутствие трения
Пусть р и р - два скаляра, первый из которых назовем "давлением", а
второй - "плотностью" жидкости; пусть они связаны некоторым уравнением.
Пусть, далее, контравариантный симметричный тензор
Г- = -Л+р?? (58)
является контравариантным тензором энергии жидкости. Ему соответствует
ковариантный тензор
''к-V + р' (58а)
15 Ср. D. Н i 1 Ь е г t. Nachr. d. К. Gesellsch. d. Wiss. zu Gottingen,
Math.-phys. Kl., 1915, 3.
493
Основы общей теории относительности
1916 г.
а также смешанный тензор 16
_ dxa dx"
Т'=-Ър + 8<$-Ь-?Р- (580)
Подставив правую часть равенства (586) в уравнение (57а), получим
гидродинамические уравнения Эйлера в общей теории относительности. В
принципе эти уравнения полностью решают проблему движения, ибо четыре
уравнения (57а) вместе с заданной зависимостью между р и р и соотношением
dx" dxQ
S - - = 1 ds ds
достаточны при данных gap для определения 6 неизвестных:
йх^ dx<i dx3 dxi P' ds ' ds ' ds ' ds
Если неизвестны также и gllv, то к прежним уравнениям присоединяются еще
уравнения (53). Таким образом, для определения 10 функций gp.v имеем 11
уравнений. Может показаться, что неизвестные функции переопределены.
Между тем следует заметить, что уравнения (57а) уже содержатся в
уравнениях (53), так что последние представляют не больше 7 независимых
уравнений. Причина этой неопределенности заключается в широкой свободе
выбора координатной системы, вследствие которой задача в математическом
смысле остается неопределенной в такой степени* что три из
пространственных функций могут быть выбраны произвольно17.
§ 20. Максвелловы уравнения электромагнитного поля
для вакуума
Пусть - компоненты ковариантного 4-вектора электромагнитного потенциала.
Образуем из них, согласно (36), компоненты Fpa ковариантного 6-вектора
электромагнитного поля
дфр дфо
Р'ро ~ дх дх " (^)
а р
16 Для наблюдателя, который движется вместе с жидкостью и пользуется в
бесконечно малой области координатной системой в смысле специальной
теории относительности, плотность энергии Т* равна р- р. Это н есть
определение плотности р. Таким образом, для несжимаемой жидкости р не
является постоянной.
17 При отказе от выбора координатной системы с g = -1 свободно
выбираемыми остаются четыре пространственные функции, соответственно
четырем произвольным функциям, которыми можно свободно распоряжаться при
выборе координат.
494
38
Основы общей теории относительности-
Из соотношения (59) следует, что удовлетворяется следующая система
уравнений:
д1±
дх"
+
dF,
дх.
dFro + ^=°-
(60)
Левая часть этого равенства в силу (37) представляет собой
антисимметричный тензор 3-го ранга. Таким образом, система (60) содержит
по существу четыре уравнения, имеющие вид
BFаз ! 0F 34 ОР42 _
dxi ¦ Г дх% дх3
^3 W + dFa. + дРи _
дх\ дх3 dxi
dFi г + дР 12 dP2i _
дх2 дх% + дх\
dFn дР 23 дР зх
дх3 dxi + дх2
(60а)'
0,
0.
Эта система уравнений соответствует второй системе уравнений Максвелла. В
этом можно немедленно убедиться, если подставить
Р 23 bxi Р
Р 31 - blji Р12 = bzi
г 24 - Су,
Ряд = е?
(61)'
Тогда можно вместо (60а) написать в обычных обозначениях трехмерного-
векторного анализа
+ rote = 0,1 ^б0б^
div Ij = 0. J
Первую систему уравнений Максвелла мы получим, обобщая уравнения
Максвелла в форме, данной Минковским. Введем контравариантный 6-вектор
F^ = Ге^Р.^ (62>
соответствующий ковариантному Faj3, и контравариантный 4-вектор -
плотности электрического тока в пустоте. В таком случае можно, приняв, во
внимание соотношение (40), написать следующую, инвариантную по отношению
к любым преобразованиям с определителем, равным 1 (согласно сделанному
нами выбору координат), систему уравнений:
