Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
можно объединить с первым членом стоящего выше выражения. Полагая
g^Av. = A\
где Л ', подобно А^,- произвольный вектор, получаем, наконец,
ф=.-±=-±-(У^А''). (35)
У-g о.rv
Этот скаляр и представляет собой дивергенцию контравариантного 4-вектора
Av.
"Ротор" {ковариантного) 4-вектора. Второй член в формуле (26) симметричен
по индексам ц и v. Поэтому А^ - Ащ оказывается особенно
простым по своей структуре (антисимметричным) тензором. Мы имеем
дА" ЪА"
*г~ <36>
V
Антисимметричная тензорная производная 6-вектора. Если применить (27) к
некоторому антисимметричному тензору 2-го ранга A^vt затем образовать из
полученного равенства путем циклической перестановки индексов ц, v, а еще
два аналогичных равенства и, наконец, сложить все эти три равенства, то
получим тензор 3-го ранга D л , л , л ( dAva (
¦^Vva - A^va -j- Ava^ -f- ' dx ' dx '
легко доказать, что этот тензор антисимметричен.
Дивергенция 6-вектора. Если равенство (27) умножить на gv-agvP (смешанное
умножение), то получим тоже тензор. Первый член правой части равенства
(27) можно записать в следующем виде:
-~(g л",- g*
Если заменить через A°f и g^g^A^ через ЛаР и подставить
480
38
Основы общей теории относительности
в преобразованный первый член вместо
Sj*
дха дха
соответствующие значения по формуле (34), то в правой части равенства
(27) будет семь членов, из которых четыре .члена взаимно уничтожаются.
Остается только
^=?+{°Л^+{°Лл" <38>
Это и есть выражение для ковариантной производной контравариантного
тензора 2-го ранга. Оно может быть соответствующим образом составлено и
для контравариантных тензоров более высокого и более низкого рангов.
Заметим, что аналогичным путем можно получить также ковариантную
производную смешанного тензора
+ <39)
Производя свертку в формуле (38) по индексам Рин (внутреннее умножение на
6р), получаем контраварйантный 4-вектор:
Аа =
|Xj3
Вследствие симметрии |^| относительно индексов (3 и х третий член правой
части обращается в нуль в том случае, когда Аа& есть антисимметричный
тензор, что мы и будем считать в дальнейшем; второй член может быть
преобразован на основании (29а). Таким образом, получается
л а __ 1 д ( У- 8
Y~g
(40)
Это и есть выражение для дивергенции контравариантного 6-вектора.
Дивергенция смешанного тензора второго ранга. Если в выражении (39)
произвести свертку по индексам а и и и принять во внимание формулу (29а),
то получим
У=ё А" = - {?} r-g А1 (41)
31 А. Эйнштейн, том I
481
Основы общей теории относительности
1916 г.
Если в последний член этого равенства ввести контравариантный тензор Ара
= gPTA°, то он примет вид
а р.
L Р .
V-g А".
Далее, если тензор Ара симметричен, то последнее выражение переходит в
У~АёАа-
Равным образом, если бы мы вместо Ара ввели симметричный ковариантный
тензор А р§=§ра.§о$Аа^, то последний член в силу (31) принял бы вид
1 1 а
2 6 дх., ра'
Iх
Итак, в рассмотренном случае симметричного тензора выражение (41) может
быть заменено следующими двумя равенствами:
(4,.,
a [j.
V=g А" = d(VteeAf) + { gfV-g А", (416)
а [j.
которыми мы в дальнейшем воспользуемся.
§ 12. Тензор Рим_ана - Кристоффеля
Рассмотрим теперь те тензоры, которые могут быть получены из
фундаментального тензора g^ одним лишь его дифференцированием. На первый
взгляд может показаться, что ответ очень прост: достаточно подставить в
(27) вместо произвольно взятого тензора А^ фундаментальный тензор чтобы
таким образом получить новый тензор, а именно, ко-вариантную производную
фундаментального тензора. Однако легко убедиться в том, что эта
ковариантная производная тождественно обращается в нуль. Цель все же
достигается следующим образом. Подставим в соотношение (27) выражение для
A^v
482
38
Основы общей теории относительности
которое представляет собою тензорную производную 4-вектора А[х. Тогда
получается (при несколько измененном обозначении индексов) тензор
третьего ранга:
Это выражение приводит к мысли о составлении тензора - Л^то.
Действительно, при этом следующие члены выражения для А^ах взаимно
уничтожаются с соответствующими членами из А^та: первый, четвертый член,
а также последний член внутри квадратной скобки, ибо все эти члены
симметричны по и и т. То же самое справедливо и для суммы второго и
третьего членов. Таким образом, мы получаем:
Л|л,ст A^T(S - В^стАрУ (42)
^=-^ГЛ+4ГЛ - Ж) + ШГЛ • (43)
В этом результате важно то, что в правой части равенства (42) стоит
только 4-вектор Ар и отсутствуют его производные. Из тензорного характера
Л^ат - Alxxa, а также из того, что Ар представляет собой произвольный 4-
вектор, в силу выводов § 7 следует, что В^ат является тензором (тензор
Римана - Кристоффеля).
Математический смысл этого тензора заключается в следующем. Если
континуум обладает тем свойством, что существует такая координатная
система, в которой g^v - постоянные величины, то все В^ат обращаются в
нуль. Если вместо первоначальной системы выбрать любую новую координатную
