Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 174

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 263 >> Следующая

компоненты которого представляют собой произвольно заданные функции от
xv, то достаточно положить (относительно выбранной координатной системы)
ф(1)=^41 ф(1) = хъ
Ф<2) = А2, ф(2) = Х2,
Ф(8> = Аз, ф(3) =
ф(4) = А 4, ф<4) = Х4
для того, чтобы Sp стало равным А^.
7 В переводе введен современный термин вместо используемого Эйнштейном
термина "расширение".- Прим. ред.
476
38
Основы общей теории относительности
Поэтому, для доказательства того, что будет тензором, если в правую часть
равенства (26) подставить вместо А^ произвольный ковариантный 4-вектор,
достаточно только показать, что это справедливо по отношению 4-вектора
SНо из правой части равенства (26) сразу видно, что достаточно провести
доказательство для случая
Правая часть равенства (25), умноженная на гр, т. е.
^ дх^ дх, \ х J V дх, '
имеет тензорный характер. Точно так же
дг]э
д^дх"
есть тензор (внешнее произведение двух 4-векторов). Складывая, мы видим,
что " . " . , "
*("?)-(?)(<
имеет тензорный характер. Тем самым дано, как видно из равенства (26),
требуемое доказательство для 4-вектора
дх
и, следовательно, по доказанному выше, для любого 4-вектора А
Пользуясь ковариантной производной 4-вектора, нетрудно дать определение
ковариантной производной ковариантного тензора любого ранга; это
определение представляет собой обобщение ковариантной производной 4-
вектора. Мы ограничимся получением ковариантной производной тензора
второго ранга, так как этого достаточно, чтобы составить себе отчетливое
представление об этой операции.
Как уже указывалось выше, каждый ковариантный тензор второго ранга может
быть представлен 8 в виде суммы тензоров типа А^В^.
8 Посредством внешнего умножения векторов с (любыми) компонентами Ац,
А12, _413, Аи и, соответственно, с компонентами 1, 0, 0, 0 получается
тензор с компонентами
Ац А\2 А\з Аи
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Складывая четыре тензора этого рода, получаем тензор А^ с любыми наперед
заданными компонентами.
477
Основы общей теории относительности
1916 г.
>-JaHATf
Поэтому вполне достаточно ограничиться выводом формулы ковариантной
производной для такого специального тензора. Выражения
dAv
V
дха 1 т ^ Jsvl d
имеют, в силу (26), тензорный характер. Посредством внешнего умножения
первого выражения на Вv и второго на А^ получаем по одному тензору
третьего ранга; сумма полученных тензоров
(27)
представляет собой тоже тензор третьего ранга, причем мы положили = А^В".
Так как правая часть равенства (27) линейна и однородна относительно А^ и
ее первых производных, то этот закон образования новых тензоров приводит
к тензору не только в случае тензора типа но и для суммы таких тензоров,
т. е. любого ковариантного тензора второго ранга. Назовем А^0
ковариантной производной тензора Арл/.
Ясно, что (26) и (24) являются только специальными случаями ковариантной
производной (27) (ковариантными производивши тензора первого и нулевого
ранга). Вообще' говоря, все специальные законы образования новых тензоров
могут быть получены на основе соотношения (27) в соединении с умножением
тензоров друг на друга.
§ 11. Некоторые частные случаи, имеющие особое значение
Некоторые леммы о фундаментальном тензоре. Выведем сначала некоторые
полезные в дальнейшем вспомогательные соотношения. Согласно правилу
дифференцирования определителей, имеем
dg = g^gdg^ = - g^gdg^. (28)
Последнее выражение следует из предшествующего, если принять во внимание,
что g^g^,%> - и glxvg'lJV= 4 а, следовательно,
g^dg^ +g^dg^= 0.
Из соотношений (28) следует:
1 a/=F iain(-g) i **¦".. i " ^
axa 2 - 2 S 2 fe0 •
478
38
Основы общей теории относительности
Из равенства
посредством дифференцирования получаем
g^dg(tm) = - gva dg^, или /"30V
9gva va%,a (°U>
a ° - - rjVO r
дхх ё dxx '
Отсюда, в результате смешанного умножения на и соответственна на gvx
получаем (изменяя обозначения индексов)
dg^ = -g^g^dgaiз, j
в^ = 8i*s, (ЗИ
да? 6 (r) да?.
a a J
и соответственно
dgVv = - gpag^dg^A
dI^L-^a a dJ^\ (32>
dx - Sv-аь^ qx • a a )
Соотношение (31) можно преобразовать в другое, которым мы также
часта
будем пользоваться. В силу формулы (21),
д8*$
дха
аз
.PJ
+
(33>
Подставляя это во вторую формулу (31) и принимая во внимание соотношение
(23), получаем
g --("••):}+г-га. ("
В результате подстановки правой части равенства (34) в (29) получаем
1 в V^g [><з|
9"0 I ц J • (29а)
Дивергенция контравариантного 4-вектора. Если умножить соотношение (26)
на контраварйантный фундаментальный тензор (внутреннее умножение), то его
правая часть после преобразования первого члена примет следующий вид:
э л \ a W*. _ 1 /а^" , а*"" а*"А ^ л
Основы общей теории относительности 1916 г.
Последний член этого выражения на основании равенств (31) и (29) можно
привести к виду
1 у. + i-g А, + --L,
2 a"v 2 ^ ^ y_g д*а в
Так как обозначение индексов, по которым производится суммирование, не
имеет значения, то первые два члена последнего выражения взаимно
уничтожаются со вторым членом стоящего выше выражения; последний же член
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed