Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 173

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 263 >> Следующая

от координатной системы, то и для линии, проведенной между двумя точками
Рх и Р% четырехмерного континуума, величина \ds прини-
мает экстремальное значение (геодезическая), бора координат. Ее уравнение
имеет вид
независимое от вы-
(20)
Отсюда, выполняя вариацию, находят известным образом четыре обыкновенных
дифференциальных уравнения, которые и определяют эту геодезическую линию.
Ради полноты изложения мы приведем здесь этот вывод. Пусть X - некоторая
функция координат xv; эта функция определяет семейство поверхностей,
пересекающих искомую геодезическую линию, равно как и все другие
бесконечно близкие к ней кривые, проведенные через точки Pi и Рг. В таком
случае каждую из этих кривых можно себе представить заданной своими
координатами выраженными: через X. Пусть символ б соответствует переходу
из какой-нибудь точки искомой геодезической линии в ту точку соседней
кривой, которой соответствует то же значение X. В таком случае уравнение
(20) можно заменить на
Лг
^ бw dX = 0,
X,
W
Так как
dxy.
dX
dxv
Ж
(20а)
б w =
1 dxa dxv
2 дха dX dX / dx"
6 Xr
dXn.
(dxv
\ dX
dbxv
~dX
то после подстановки этих значений в (20а) и интегрирования по частям
получаем .
^ dXyiaдха = 0,
X,
Ха
d
dX
1 dxy. dxv
2 w dx. dX dX
(206)
47"
Основы общей теории относительности
1916 г.
Отсюда, вследствие произвольности выбора 8х0, следует, что ха равно нулю.
Таким образом,
х0 = 0 (20в)
представляют собой уравнения геодезической линии. Если на рассматриваемой
геодезической линии ds =j= 0, то в качестве параметра X можно выбрать
"длину дуги" s, измеренную вдоль геодезической линии. Тогда w - 1 и
вместо (20в) получаем
(r)1AV ds*
или, изменяя обозначения,
dxa dxy.
дх^ dX dX
1 dhid^±d^L
2 dxa dX dX
= 0,
d2xa
[xv
<3
dx" dx"
-t- - = 0
ds ds 1
где, согласно Кристоффелю, мы положили
[XV
<3
° [АО
дх..
I
дх..
дх"
(20г)
(21)
Наконец, умножив уравнение (20г) на gaT (внешнее умножение относительно т
и внутреннее - относительно а), получим уравнение геодезической линии в
окончательном виде:
, fpvl Л
ds2 ' { т J ds ds
При этом, согласно Кристоффелю, введено обозначение
[XV
X
(22)
(23)
§ 10. Образование тензоров посредством дифференцирования
Используя уравнение геодезической линии, можно теперь легко вывести
правила, по которым из тензоров путем дифференцирования могут быть
образованы новые тензоры. Эти правила позволяют получить общеко-
вариантные дифференциальные уравнения. Мы достигаем этой цели повторным
применением следующих простых операций.
Если в нашем континууме дана кривая, точки которой характеризуются длиной
дуги s, отсчитываемой от некоторой определенной точки на кривой, и если
далее ф - инвариантная функция координат, то и у являет-
474
38
Основы общей теории относительности
ся инвариантом. Доказательство заключается в том, что как ейр, так и ds
представляют собой инварианты.
Так как
с?ф ___ дф dxv.
ds дх" ds '
Г*
то и
. дф dx
\г*
будет инвариантом и притом для всех кривых, которые выходят из одной
точки континуума, т. е. для любого вектора dxОтсюда следует, что
А - ^Р-
* Ч
есть ковариантный четырехмерный вектор (grad <р).
Согласно нашему правилу, инвариантом будет также и производная, взятая
вдоль кривой:
_ йф к ds •
Подставляя значение ф, получаем сначала
_ д2Ф dx^ dx^ ^ d2x^
^ dxtl За;, ds ds dxtl ds2
Г V P*
Отсюда пока еще нельзя заключить о существовании какого-либо тензора. Но
если мы теперь будем считать, что кривая, вдоль которой мы
d2xv
дифференцировали, является геодезической то, заменяя ¦¦ его Выражением из
формулы (22), получаем
j Э2ф j pv \ Эф 'i dxp dxv
^ dxv \ x J dxx J ds ds
Из возможности изменения порядка дифференцирования по р и v,
а также из симметрии, в силу (23) и (21), символа относительно
р и v, следует, что выражение, стоящее в фигурных скобках, тоже
симметрично относительно тех же индексов. Так как из любой точки
континуума можно провести геодезическую линию в любом направлении, и,
dx
следовательно, представляет собой 4-вектор с компонентами,
соотношения между которыми могут быть произвольными, то на
475
Основы общей теории относительности
1916 г.
основании выводов § 7 следует, что
|-М& (25>
г пт. пт т пт. ' 7
Эа;^ дх^ [ т J 9а;,
есть ковариантный тензор второго ранга. Таким образом, из ковариантного
тензора первого ранга
А =^-
можно посредством дифференцирования образовать ковариантный тензор
второго ранга
(2б>
Назовем тензор ковариантной производной7 тензора Av.. Прежде всего можно
легко показать, что этот способ построения приводит к тензору даже в том
случае, когда нельзя представить в виде градиента. Для того чтобы
убедиться в этом, мы предварительно заметим, что
I дф
ч
представляет собой ковариантный 4-вектор, еслиф иф - скаляры. То же самое
справедливо в отношении суммы, состоящей из четырех таких членов: и.
я,-*"
если фО, ф*1), . . . ,фЧфГ4)- скаляры. Но ясно, что каждый ковариантный
4-вектор может быть представлен в виде S^. Если А^ является 4-вектором,
Предыдущая << 1 .. 167 168 169 170 171 172 < 173 > 174 175 176 177 178 179 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed