Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
соотношения особенно интересными в приложении к фундаментальному тензору.
Контравариантный фундаментальный тензор. Если взять миноры,
соответствующие элементам g^ в определителе, составленном из g^, и
разделить каждый из них на определитель g = \g^\, то получаются некоторые
величины g^v (= gvlx), относительно которых мы докажем, что они
составляют контравариантный тензор.
На основании известной теоремы из теории определителей имеем
469
Основы общей теории относительности
1916 г.
где равен 1, если ц = v, и 0, если \л =f= v. Вместо приведенного
выражения для ds2 можно также написать
или в силу равенства (16)
g|M>6v dx^dx^,
gpagvrg^dx^dXv.
Но, согласно правилам умножения, изложенным в предыдущем параграфе,
величины
dl о = gv-adxix
образуют ковариантный 4-вектор и притом (в силу возможности произвольного
выбора dxy) произвольно выбранный 4-вектор. Подставив его в наше
выражение, получим
ds2 = g^dladh-
Так как это выражение при любом выборе вектора dla является скаляром и
gax, но определению, симметричен по индексам о и т, то на основании
результатов предыдущего параграфа заключаем, что gax представляет собой
контраварйантный тензор. Из (16) следует еще, что 6^ есть тоже тензор,
который можно назвать смешанным фундаментальным тензором.
Определитель фундаментального тензора. Согласно правилу умножения
определителей, имеем
= | 8у.а | | gaV !•
С другой стороны,
Отсюда следует
(17)
Инвариантный объем. Сначала найдем закон преобразования определителя g =
|g[xv|. В силу соотношения (11) имеем
I
I gju.gew 1 = 1 ч lfrv| | g*Vl=1-
= i.
8 =
дх" дх,
Отсюда, после двукратного применения правила умножения определителей,
следует
дх,,
дх.,
дх"
38
Основы общей теории относительности
или
Vg' =
fey
дх.
Vg-
С другой стороны, закон преобразования элемента объема
dx' = ^ dxx dx2 dx3 dxx
по известной теореме Якоби имеет вид:
дх
dx'
дх.,
dx.
Перемножая последние равенства, получаем
У g' dx' = У g dx.
(18)
В дальнейшем вместо Уg вводится величина У-g, которая вследствие
гиперболического характера пространственно-временного континуума всегда
имеет вещественное значение. Инвариант У-g dx равен величине элемента
четырехмерного объема, измеренного в "местной координатной системе"
посредством твердых масштабов и часов по принципам специаль-ной теории
относительности.
Замечание о характере пространственно-временного континуума. Наша
предпосылка о справедливости в бесконечно малом специальной теории
относительности приводит к тому, что ds2 всегда можно выразить с помощью
(1) через вещественные величины dXi, ..., dXx. Обозначив через dx0
"естественный" элемент объема dXxdX2dX3dXi, получим
dxQ=y-g*dx. (18а)
Если окажется, что в каком-нибудь месте четырехмерного континуума У-g
обращается в нуль, то это будет означать, что в этом месте конечному
координатному объему соответствует бесконечно малый "естественный" объем.
Будем считать, что этого нигде нет. В таком случае g не может менять свой
знак; мы примем, в соответствии со специальной теорией относительности,
что g всегда имеет конечное и отрицательное значение. Это допущение
является некоторой гипотезой о физической природе рассматриваемого
континуума и в то же время правилом, касающимся выбора системы координат.
Но если -g положительно и конечно, то естественно возникает мысль, что
теперь следует выбрать координаты так, чтобы эта величина стала равной 1.
Позже мы увидим, что посредством такого ограничения выбора
4=71
Основы общей теории относительности
1916 г.
системы координат может быть достигнуто значительное упрощение законов
природы. В этом случае вместо равенства (18) имеем
dx' = dx,
откуда, приняв во внимание теорему Якоби, следует, что
дх_ I
(")
Таким образом, при подобном выборе координатных систем допустимы
преобразования координат только с определителем 1.
Но было бы ошибкой думать, что этот прием означает частичный отказ от
общего принципа относительности. Мы не спрашиваем: "каковы будут законы
природы, ковариантные по отношению ко всем преобразованиям с
определителем 1?" Но мы задаем вопрос: "каковы будут общековариант-ные
законы природы?" Лишь после того, как эти законы установлены, мы упрощаем
их выражение посредством особого выбора координатной системы.
Образование новых тензоров с помощью фундаментального тензора. Путем
внутреннего, внешнего и смешанного умножения какого-нибудь тензора на
фундаментальный тензор возникают тензоры другого характера и ранга.
Примеры: ^
А =
Особо отметим следующие комбинации:
Ли = э,
("дополнения" к ковариантному и, соответственно, контравариантному
тензору) и
Мы называем В^ редуцированным по отношению к тензором. Аналогично имеем
В"" = g^ga^.
Заметим, что g^v - не что иное, как "дополнение" по отношению к g"v, ибо
g^gan = ё= rv-
472
38 Основы общей теории относительности
§ 9. Уравнение геодезической (уравнение движения точки)
Так как "линейный элемент" ds является величиной, определенной независимо
