Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
166
38
Основы общей теории относительности
§ 7. Умножение тензоров
Внешнее умножение тензоров. Из компонент двух тензоров рангов z и z*
получаются компоненты тензора ранга z + z\ если все компоненты первого
тензора попарно перемножить со всеми компонентами второго тензора. Так,
например, из различного типа тензоров А и В получаются тензоры Т:
Доказательство тензорного характера Т следует непосредственно из
соотношений (8), (10), (12) или из формул преобразования (9), (11), (13).
Равенства (8), (10), (12) сами служат примерами внешнего умножения
(тензоров первого ранга).
"Свертывание" 6 смешанного тензора. Из каждого смешанного тензора можно
образовать тензор, ранг которого на две единицы меньше, если один значок
ковариантного характера приравнять одному зйачку контравариантного
характера и по этому значку произвести суммирование ("свертывание").
Таким образом, например, из смешанного тензора четвертого ранга Аар
получают смешанный тензор второго ранга:
и из него повторным свертыванием получают тензор нулевого ранга:
Доказательство того, что результат свертки действительно обладает
тензорным характером, следует из обобщения представления тензоров (12)
вместе с соотношением (6) или из обобщения соотношения (13).
Внутреннее и смешанное умножение тензоров. Оно заключается в комбинации
внещнего умножения со сверткой.
Примеры. Из ковариантного тензора второго ранга А^, и контравариантного
тензора первого ранга В° образуем посредством внешнего умножения
смешанный тензор
А = Ар = Аар,.
6 В переводе употребляется современный термин "свертка". Эйнштейн писал
"котposition" или "Verjungung".- Прим. ред.
Основы общей теории относительности
1916 г.
В результате свертки по индексам v и а возникает ковариантный
четырехмерный вектор
Этот вектор будем называть внутренним произведением тензоров и В°.
Аналогичным образом из тензоров и Ват посредством внешнего умножения и
двукратной свертки можно образовать внутреннее произведение А^ ВОбразовав
внешнее произведение из А^ и Вах и выполнив свертку, получим смешанный
тензор второго ранга D? - А^В^. Эту операцию удобно назвать смешанной,
ибо она является внешней по отношению к значкам ц и т и внутренней по
отношению к значкам v и а.
Теперь докажем утверждение, которое часто используется при установлении
тензорного характера. На основании только что изложенного, А^В^ есть
скаляр, если А^ и Ват тензоры. Но утверждается также, что если А^В^ для
произвольного тензора В^ есть инвариант, то А^ имеет тензорный характер.
Доказательство. По предположению, при любом преобразовании координат
должно быть
-Подставляя это выражение для Вв верхнее соотношение, получаем:
При любом выборе Бат' это соотношение может выполняться только тогда,
когда выражение в скобке равно нулю, откуда, в силу соотношения (И), и
следует наше утверждение.
Эта теорема верна в соответствующей форме для тензоров любого ранга и
типа; доказательство всегда проводится аналогичным путем.
Указанное утверждение можно также доказать и в такой форме: если № hCv -
произвольные векторы и если при любом их выборе внутреннее произведение
Dp. = d;v = А^В\
Аа: ?ат = А^\
Но в результате обращения соотношения (9) имеем
а^в*с
468
38
Основы общей теории относительности
является скаляром, то А^ есть ковариантный тензор. Последнее положение
справедливо еще и в том более частном случае, когда утверждается лишь то,
что при любом выборе 4-вектора В^ скалярное произведение А^В^В" является
скаляром, и если, кроме того, еще известно, что А^ удовлетворяет условию
симметрии A^v = Av[x. В самом деле, следуя вышеуказанным путем, сначала
доказывают тензорный характер величины (А^-{-AV[j.), откуда на основании
свойства симметрии непосредственно следует тензорный характер АЭто
утверждение легко обобщить и на случай ковариантных и контравариантных
тензоров любого ранга.
Наконец, из доказанного следует утверждение, которое также можно обобщить
на любые тензоры: если величины A^BV при любом выборе 4-вектора Z?v
образуют тензор первого ранга, то А^ представляет собой тензор второго
ранга. В самом деле, если О - произвольный 4-вектор, то, в силу
тензорного характера A^BV, внутреннее произведение А^С^В^ при любом
выборе обоих 4-векторов О и Z?v является скаляром, откуда и следует наше
утверждение.
§ 8. Некоторые свойства фундаментального тензора g
Ковариантный фундаментальный тензор. В инвариантном выражении квадрата
линейного элемента
ds2 = g^dx^dxv
величина dx^ играет роль произвольного контравариантного вектора. Так
как, кроме того, g^ = gvv., то на основании сказанного в последнем
параграфе заключаем, что g^ есть ковариантный тензор второго ранга. Мы
назовем его "фундаментальным тензором". Ниже мы выведем некоторые
свойства этого тензора, которыми, правда, обладает каждый тензор второго
ранга, но особый физический смысл фундаментального тензора в нашей
теории, связанный с гравитационным действием, делает доказанные выше
