Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования
Замечание об упрощении записи выражений. Рассматривая уравнения этого
параграфа, мы сразу видим, что суммирование всегда производится по тем и
только по тем значкам, которые дважды появляются под знаком суммы
[например, значок v в правой части равенства (5)]. Поэтому можно без
ущерба для ясности отбросить знак суммы. Для этого мы введем следующее
правило: если член некоторого выражения содержит какой-нибудь индекс
дважды, то по этому значку должно быть произведено суммирование, если
только специально не оговорено противное.
Различие между ковариантным и контравариантным 4-векторами заключается в
законе преобразования [соотношения (7) и (5)]. Обе величины представляют
собой тензоры в том смысле, в каком о них говорилось выше. Следуя Риччи и
Леви-Чивите, будем отмечать контравариантный характер, помещая значок
вверх, а ковариантный - вниз.
Контравариантный тензор. Если мы составим все 16 произведений компонент
А^ и 5V двух контравариантных 4-векторов
величину Вv выражением
полученным из равенства (5а), найдем
(7)
в. Тензоры второго и более высоких рангов
38
Основы общей теории относительности
то, в силу соотношений (8) и (5а), компоненты удовлетворяют закону
преобразования
. = < _
дх^ дх^ ' ( )
Мы называем объект, который по отношению ко всякой координатной системе
описывается посредством 16 величин (функций), удовлетворяющих закону
преобразования (9), контравариантным тензором второго ранга. Не все
тензоры этого рода можно составить по формуле (8) из двух 4-векторов. Но
легко доказать, что 16 произвольно заданных компонент А*4 можно
представить в виде суммы четырех слагаемых типа А^В', составленных из
компонент четырех пар надлежащим образом выбранных четырехмерных
векторов. Поэтому почти все положения, справедливые для тензора второго
ранга, определенного соотношением (9), можно проверить, доказывая их для
специальных тензоров типа (8).
Контравариантный тензор любого ранга. Очевидно, что по аналогии с (8) и
(9) можно определить также контравариантные тензоры третьего и высших
рангов с 43 и т. д. компонентами. Из соотношений (8) и (9) вытекает
также, что в этом смысле можно рассматривать контравариантный 4-вектор
как контравариантный тензор первого ранга.
Ковариантный тензор. Если, с другой стороны, составить 16 произведений А^
из компонент двух ковариантных 4-векторов А^ и Bv
А^ = A^BV, (10)
то для них справедлив закон преобразования
дх да;
^=-^•-4-Л- (И)
dxQ дхг
Этим законом преобразования дается определение ковариантного тензора
второго ранга. Все замечания, которые прежде были сделаны по поводу
контравариантных тензоров, остаются в силе и для ковариантных тензоров.
Замечание. Скаляр (инвариант) удобно рассматривать как контравариантный
или как ковариантный тензор нулевого ранга.
Смешанный тензор. Можно также составить тензор второго ранга типа
л; = AfB\ (12)
который ковариантен относительно индекса ц и контравариантен относительно
индекса v. Его закон преобразования имеет вид
. ^.а1. (13)
•Iх;-. вха
30 А. Эйнштейн, том I 465
Основы общей теории относительности
1916 г.
Имеются, конечно, смешанные тензоры с произвольным числом индексов
ковариантного и произвольным числом индексов контравариантного характера.
Ковариантный я контраварйантный тензоры можно рассматривать как частные
случаи смешанного тензора.
Симметричные тензоры. Контраварйантный (или ковариантный) тензор второго
или высшего ранга называется симметричным, если две компоненты,
получающиеся друг из друга путем перестановки каких-нибудь двух значков,
равны между собою. Тензор А^ (или Л,^) симметричен, если для любой
комбинации значков имеем
^ = А^, (14)
ИЛИ л Л ,А / N
-^4[av - Ащ. (14а)
Докажем, что определенная таким образом симметрия представляет собой
свойство, не зависящее от системы координат. В самом деле, на основании
равенств (14) из (9) следует
дхп дх" дх" дх" дх" дх"
' А = IT1 a"1 Л = IT*- 7Г1 А = я-1 1Г^А = А ¦
дх^ дхv дх^ dxv дх^ дхv
Предпоследнее из этих равенств основывается на перестановке
значков
суммирования ц и v (т. е. на простом изменении
способа обозначения).
Антисимметричные тензоры. Контраварйантный или ковариантный тензор
второго, третьего или четвертого ранга называется антисимметричным, если
две компоненты, получающиеся друг из друга путем перестановки каких-
нибудь двух значков, равны по величине и противоположны по знаку.
Следовательно, тензор Л^ (или Л^Д антисимметричен, если
А"4 = - А^ (15)
или
A^v - Л,,^. (15а)
Из 16 компонент Л^ четыре компоненты Л^ равны нулю; остальные компоненты
попарно равны по величине и имеют противоположные знаки, так что имеются
только 6 численно отличных компонент (6-вектор). Таким же образом можно
убедиться в том, что антисимметричный тензор Л^° (третьего ранга) имеет
только четыре численно различных компоненты, антисимметричный тензор Л^от
- только одну. В четырехмерном континууме нет антисимметричных тензоров
выше четвертого ранга.
