Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
конце концов наблюдались бы только встречи двух или нескольких таких
точек. Результаты наших измерений также являются не чем иным, как
констатацией подобных встреч между материальными точками наших масштабов
с другими материальными точками, и соответственно совпадений между
часовыми стрелками, точками циферблата и рассматриваемыми точечными
событиями, происходящими в том же месте и в то же время.
Введение координатной системы служит только для более простого описания
совокупности совпадений. Четыре пространственно-временные
4 Мы не будем здесь касаться некоторых ограничений, вытекающих из
требования однозначности и непрерывности.
459
Основы общей теории относительности
1916 г.
переменные х±, х2, х3, сопоставляются с миром таким образом, чтобы
каждому точечному событию соответствовала некоторая система значений
переменных хг, #4. Двум совпадающим точечным событиям соответствует одна
и та же система значений переменных xi, ..., #4, т. е. совпадение
характеризуется равенством координат. Если ввести вместо переменных хг#4
любые четыре функции от хг, ... ж4 как новую координатную систему так,
чтобы эти системы значений однозначно соответствовали друг другу, то
равенство соответствующих координат в новой системе тоже является
выражением пространственно-временного совпадения двух точечных событий.
Так как все наши физические опытные данные можно в конце концов свести к
таким совпадениям, то заранее нет никакого основания отдавать
предпочтение какой-либо одной координатной системе перед другими, т. е.
мы приходим к требованию общей ковариантности.
§ 4. Связь четырех координат с результатами пространственных и временных
измерений.
Аналитическое выражение для гравитационного ноля
В настоящей статье я не старался представить общую теорию относительности
в виде наиболее простой логической системы при минимуме аксиом. Моя
главная цель - изложить эту теорию так, чтобы читатель ощутил
психологическую естественность выбранного пути и чтобы предпосылки,
положенные в ее основу, представлялись бы как можно лучше согласованными
с опытом. В этом смысле введем теперь следующую предпосылку.
Для бесконечно малых четырехмерных областей при подходящем выборе системы
координат справедлива теория относительности в более узком смысле.
Ускоренное движение бесконечно малой ("местной") координатной системы
должно быть при этом выбрано так, чтобы отсутствовало гравитационное
поле; для бесконечно малой области это возможно. Пусть Хг, Х2, Х3 -
пространственные координаты; Х4 - координата времени, измеренная
надлежащим масштабом5. Если представить себе, что дана твердая линейка
небольших размеров в качестве единичного масштаба, то эти координаты при
данной ориентации координатной системы имеют непосредственный физический
смысл в рамках специальной теории относительности. В этом случае
выражение
ds2 = -dX\~ dX\ - dX\ + d XI (1)
5 Единицу времени следует выбрать так, чтобы скорость света в пустоте,
измерен ная в "местной" координатной системе, равнялась единице.
460
38
Основы общей теории относительности
имеет в специальной теории относительности некоторое численное значение,
независимое от ориентации местной координатной системы и определяемое
путем пространственно-временного измерения. Назовем величину ds линейным
элементом, принадлежащим двум бесконечно близким друг к другу точкам
четырехмерного пространства. Если величина ds2, соответствующая элементу
(dXx, ..., dX4), положительна, то мы вместе с Минковским будем называть
последний временноподобным, в противном случае - пространственноподобным.
Рассмотренному линейному элементу, или, соответственно, обоим бесконечно
близким точечным событиям, соответствуют также дифференциалы dxx, ...,
dx± четырехмерных координат некоторой выбранной системы. Если для
рассматриваемого места выбрана такая система координат и "местная"
система вышеуказанного типа, то величины dXv можно представить в виде
некоторых выражений, линейных и однородных относительно dx0:
dXv = 2 а"0(?х0. (2)
а
Подставив эти выражения в равенство (1), получим
ds2 = J] g^dxadxT, (3)
ат
где величины g0T - функции ха, которые уже не могут более зависеть от
ориентации и состояния движения "местной" координатной системы, поскольку
ds2 является величиной, определенной независимо от того
или
иного выбора системы координат, относящейся к бесконечно
близким в
пространстве и во времени точечным событиям и получаемой посредством
измерения, выполненного с масштабом и часами. При этом величины g0T
должны быть выбраны так, чтобы gaT = gza; суммирование должно быть
распространено на все значения а и т, так что сумма состоит из 4x4
слагаемых, из которых 12 попарно равны.
Обычная теория относительности получается как частный случай из
рассмотренного здесь, когда в силу особого поведения gaT в некоторой
конечной области оказывается возможным выбрать в ней координатную систему
так, чтобы g0T приняли постоянные значения:
