Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений получим:
а) для комбинации индексов а = т = 4
или, принимая во внимание (6в) и (9), с точностью до величин второго
порядка,
в) для комбинаций индексов сг =f= 4, т =j= 4 (которые только и следует
dx" dx"
принимать во внимание) с учетом того, что произведения-^- • ~ на
основании (8) следует рассматривать как величины первого порядка 6" также
с точностью величин второго порядка:
6 В соответствии с этим обстоятельством мы могли бы удовлетвориться
первым приближением для компонент поля Г^т в уравнении (6а).
(8а)
с?г2 -f- гЫ ф2 ds*
d2x4 о VI -р4 ^ха dx4 dgu dxt
ds2 ^ 04 ds ds ds ds
ds ds
о
или с точностью до величин первого порядка:
(9)
Суммирование приводит к результату
444
36
Объяснение движения перигелия Меркурия
Учитывая это, получаем с точностью до величин второго порядка уравнения
движения, которые вместе с (9) определяют движение материальной точки.
Между прочим, надо заметить, что в случае кругового движения уравнения
(76) и (9) не дают отклонений от третьего закона Кеплера.
Из (76) следует точная применимость уравнения
ds
в, (10)
где В - постоянная. Следовательно, теорема площадей остается точной при
учете величин второго порядка, если для измерения времени применять
"собственное время" планет. Чтобы определить теперь из (76) вековое
вращение эллиптической орбиты, лучше всего заменить члены первого порядка
в скобках с помощью равенства (10) и первого из уравнений (8), благодаря
чему члены второго порядка в правой части не изменятся. После этого
скобка принимает вид
1-24 + ^-
Наконец, если вместо времени мы выберем переменную s V1 - 2А и назовем ее
снова s, то при несколько измененном значении постоянной В получим
_ дф ds2 дх '
(7в)
* = -!(* + ?)•
При определении формы орбиты будем поступать теперь в точности также, как
в случае теории Ньютона. Сначала из уравнений (8) и (8а) получим
±l+|glg =24-2Ф.
Исключив из этого уравнения ds с помощью (10) и обозначив через х 1
величину -, получим:
= # + + (11)
Это уравнение отличается от соответствующего уравнения теории Ньютона
только последним членом в правой части.
В соответствии с этим угол, который описывает радиус-вектор, проведенный
между перигелием и афелием, выражается через эллиптический
445
Объяснение движения перигелия Меркурия
1915 г.
интеграл д
С dx
2А ос
+ ~#а х - X<1 + axz
где ах и а2 - те корни уравнения
if + жх ~ + аж3 = °"
которые близки к корням уравнения, получающегося после отбрасывания
последнего члена.
С достаточной для нас точностью это можно заменить на
<p=[l+a(<Xi+aa)] J
а2
dx
Y - - ctx)(a? - а2)(1 - ах) '
0.1
или после разложения (1 - ах)-%Ь
"* ' 1 -j- ~2 х 1 dx
Oi
ф - [1 + а (а1 + аг)] \ лГ - - .
J У - (ж - он) (х - аг)
Интегрирование дает ф - я
или, если заметить, что аг и а2 означают обратные значения максимального
или минимального расстояния от Солнца,
ф = я
Следовательно, при целом обороте перигелий перемещается на угол
8 = Зя --гг--sr , (13)
а (1 - е2) ' v '
если через а обозначить большую полуось, а через е - эксцентриситет
орбиты.
Если мы введем период оборота Т (в сек), то получим, обозначив через с
скорость света (в см!сек),
е = 2я3 ^ _ е2) . (14)
Вычисление дает для планеты Меркурий поворот перигелия на 43* в столетие,
тогда как астрономы указывают 45" + 5" в качестве необъяс-
446
36
Объяснение движения перигелия Меркурия
нимой разницы между наблюдениями и теорией Ньютона. Это означает полное
согласие с наблюдениями.
Для Земли и Марса астрономы указывают соответственно на поворот И" и 9" в
столетие, тогда как наша формула дает только 4" и 1". Однако вследствие
малого эксцентриситета орбит этих планет наблюдательные данные, по-
видимому, недостаточно точны. Мерой надежности определения постоянной
движения перигелия является ее произведение на эксцентриситет {e-jj)'
Если рассмотреть значения этого произведения, указанные Ньюкомбом,
Меркурий............. 8,48" ±0,43",
Венера..............-0,05" ± 0,25",
Земля................ 0,10" ±0,13",
Марс................. 0,75" ±0,35",
за которые я благодарен д-ру Фрейндлиху, то создается впечатление, что
вообще смещение перигелия в действительности доказано только для
Меркурия. Однако окончательцое суждение об этом мне хотелось бы
предоставить специалистам-астрономам.
Результаты этой работы были доложены на заседании Прусской Академии наук
в 1915 г. В ней Эйнштейн впервые использовал новые уравнения
гравитационного поля для вычисления эффектов. Первый эффект, это
отклонение луча около Солнца, для которого получено значение вдвое
больше, чем получалось в прежних вариантах теории. Второй эффект -
поворот перигелия Меркурия - впервые описан в этой работе. Как известно,
отклонение луча света вблизи диска Солнца было подтверждено впервые в
1919 г. (см. статью 52). Обработка современных данных А. А. Михайловым
(Астрон. ж., 1956, 33, 912) дает для отклонения величину 2",03 вместо
теоретических 1",75, Расхождение пока лежит внутри интервала ошибок
