Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
любых преобразований, то для интересующей нас группы и
У=? = v=~g. (3)
Следовательно, определитель, составленный из gтакже является инвариантом.
В силу скалярного характера V - g основные формулы образования
ковариантов допускают по сравнению со случаем общей ковариантности
упрощение, коротко говоря, основанное на том, что в основных формулах уже
не появляются множители У- g и 1/У - g
426
34
К общей теории относительности
и отпадает различие между тензорами и F-тензорами. В частности,
получается следующее:
1. На месте тензоров
GiJiim - ~V'- g&iklm
И
s^iklm 1 s
^ - r С
v-g
[см. формулы (19) и (21a) цит. соч.] стоят более просто построенные
тензоры
Gilrtm = Glklm - Sikim ¦ (4)
2. Основные формулы (29) и (30) цит. соч. для расширения тензоров нельзя
заменить более простыми на основе наших исходных предположений, равно как
и определяющую дивергенцию формулу, которая получается объединением
формул (30) и (31) цит. соч. Ее можно записать в виде:
л--' + + ••• +
S s ST
+ {?} + S {7} Аа"-а1\ (5)
Однако теперь, согласно (24) и (24а) цит. соч.,
s L ¦* as х г 8 а/ а т
Таким образом, эта величина в силу (3) имеет векторный характер.
Следовательно, последний член в правой части равенства (5) сам является
контравариантным тензором ранга I. Поэтому мы вправе принять вместо (5)
более простое определение дивергенции
= 2 ^2^ + 2 [?} А(tm)'-'? +...+{"} >"] , (5а)
что мы и будем делать в дальнейшем. Так, например, определение (37) цит.
соч.
0 = ^=2 ±(V~gA")
нужно было бы заменить более простым определением
_ ал"1 /п\
К общей теории относительности 1915
формулу (40) цит. соч для дивергенции контравариантного 6-вектора также
можно заменить более простой
^ = 2^- (8)
V V
По нашему определению, вместо формулы (41) цит. соч. имеем
1 v, dg "
^ = (9)
V V ^VT
Сравнение с формулой (416) цит. соч. показывает, что при нашем
определении закон для дивергенции такой же, как и закон для дивергенции
F-тензора согласно абсолютному дифференциальному исчислению. Тот факт,
что это замечание справедливо для дивергенций произвольных тензоров,
можно легко доказать с помощью соотношений (5) и (5а).
5. Наше ограничение преобразованиями с определителем 1 приводит к
наиболее сильному упрощению для тех ковариантов, которые могут быть
образованы только из и их производных. Математика учит, что все эти
коварианты могут быть получены из тензора Римана - Кристоф-феля 4-го
ранга, который (в своей ковариантной форме) имеет вид
(ik 1т\ = - ( д2§гтп i ^2Skl _ d2Sil ______ d2§mh \ t
' ' ' 2 KdXfrdxi ' dxidxm дх-^дхт dx{dxi)
+2*,°CT"Hp1HT1)- (10>
la LHJ
Проблема гравитации заставляет нас особенно интересоваться тензорами 2-го
ранга, которые могут быть образованы из этого тензора 4-го ранга и путем
внутреннего умножения. В силу свойств симметрии тензора Римана,
вытекающих из равенства (10),
(ik, 1т) - (Im, ik),
(ik, Im) - - (ki, Im), (11)
такая операция образования тензора 2-го ранга может быть выполнена
только одним способом; получается тензор
Gim = y2igkl{ik,lm). (12)
kl
Однако для наших целей полезнее вывести этот тензор из второй формы
тензора (10), указанной Кристоффелем, а именно2,
2 Простое доказательство тензорного характера этого выражения можно найти
на стр. 1053 цит. соч. (статья 29, стр. 350, 351 .- Ред.).
428
34
К общей теории относительности
д {il 1 d{im\
ик = S Л №, Ы) = -М - 4|i + S [{"} {Т} - {7} {*}]¦ <13>
Тензор Gim получается отсюда путем умножения на тензор 8^ = 2gkagal
а
(внутреннее умножение):
Rim = Iffl} = Rim 4" S^m, (^3)
1ТП
Rim- \XJ + 2{ p}{PZ } " (13a)
Р
(13б)
Если ограничиться преобразованиями с определителем 1, то не только {Gim)
является тензором, но и (Rim) и (Sim) также имеют тензорный характер. В
самом деле, это следует из того обстоятельства, что У - g
является скаляром и в силу равенств (6) |^| - ковариантным 4-вектором.
Однако {Sim) согласно формуле (29) цит. соч. есть не что иное, как
расширение этого 4-вектора, т. е. также тензор. Из тензорного характера
{Gim) и {Sim) [см. (13)] следует также тензорный характер (i?im)- Этот
последний тензор имеет наибольшее значение для теории гравитации.
§ 2. Замечания к дифференциальным законам "материальных процессов"
1. Теорема энергии-импульса для материи (включая электромагнитные
процессы в вакууме).
Вместо уравнения (42а) цит. соч., согласно общим методам предыдущего
параграфа, мы будем иметь уравнение:
+ (14>
V JXV
при этом Га - обычный тензор, Ка - обычный ковариантный 4-вектор (а не F-
тензор или F-вектор). По поводу этого уравнения необходимо сделать
следующее важное замечание. Это уравнение сохранения
420
К общей теории относительности
1915 г.
побуждало меня рассматривать величины
как естественное выражение для компонент гравитационного поля, хотя,
принимая во внимание формулы абсолютного дифференциального исчисления,
вместо этих величин лучше было бы ввести символы Кристоффеля
Это было роковым предубеждением. Предпочтение символам Кристоффеля
