Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 147

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 263 >> Следующая

приписывается тензорный характер, для чего, как оказалось, нет оснований.
(IV)
402
32
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
мы запишем в сокращенном виде
Ва = 0.
Эти величины Ва, как будет показано в § 5, не образуют общековариант-ного
вектора. Отсюда можно заключить, что соотношения Вс = 0 в самом деле
ограничивают выбор координатной системы 5.
§ 3. Уравнения гравитации в форме Гамильтона
В последующем доказательстве ковариантности уравнений гравитации
используется то обстоятельство, что для этих уравнений можно
сформулировать вариационный принцип 6.
Можно показать, что уравнения гравитации (II) эквивалентны соотношению
и варьируются независимо друг от друга таким образом, что их вариации
обращаются в нуль на границе четырехмерной области, по которой
производится интегрирование.
Принимая во внимание при вычислении 6# очевидные формулы
и учитывая равенство нулю вариаций поверхностных интегралов,
5 Соотношения Ва = 0 можно также получить, применяя к уравнениям
гравитации операцию дивергенции в смысле абсолютного дифференциального
исчисления и используя законы сохранения для материи.
8 Мы благодарны Полю Бэрней, предложившему для упрощения этого
доказательства использовать вариационный принцип.
(V)
где
б (У - 8) = - у 2 V- gg^M^,
403
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
1914 г.
находим
2 [~^[V=iua-^-) + V=Jur"^-^ +
J •' n-va^Tp u a ' P a P
_ r... i!lL . r dg4
2 r & & dx^ dxv 4 da^ j
fir. •d't.
1 [XV
Если воспользоваться определениями (14) и (16) "Проекта", то условие (V)
примет вид
[ 2 [^v (g) + X (^v + ?Vv)] g = 0.
J H-v
Поскольку y^v должны быть независимыми друг от друга, отсюда еле дуют
уравнения (21) "Проекта", т. е. наши уравнения гравитации в кова-риантной
форме.
§ 4. Доказательство леммы.
Соответственные системы координат
Теперь наша задача заключается в исследовании ковариантных свойств
соотношения (V). Для этой цели сначала найдем трансформационные свойства
интеграла
Пусть существует произвольное четырехмерное многообразие М, отнесенное к
системе К с координатами xv. Можно отнести это многообразие М ко второй
системе К' с координатами хv по формулам преобразования
<*** = 2 jj- d\=2 p.* dv
v- v- V-
Пусть I ж Г представляют собой значения введенного выше интеграла
соответственно в координатных системах К и К\ Тогда
Преобразуя Г к системе К и учитывая, что произведение У- g'-dx* есть
скаляр, получаем
"-У-*. Ж
[AvmniftpT
404
д д
Tift qx {PmxPnpgmn) (^т^рТ^)
dx.
32
Ковариантные свойства уравнений поля в теории тяготения
Следовательно,
I - \ ^ ^ 2 Г Tift qx {Pm^Pnpgmn) ( Яцт Y^v)
u.vmni/cpT Li ft
dr.
Для дальнейших вычислений предположим, что системы К и К' лишь бесконечно
мало отличаются друг от друга, т. е. преобразование является
инфинитезимальным. Тогда можно положить
Xv - - Axv;
следовательно,
_ d(Axv) d(AxJ
И
, , d(Axv)
V + дх^
причем Axv следует рассматривать, как бесконечно малые величины,
квадратами и произведениями которых можно пренебречь. Тогда получим

V дхп = 6V[X-
IJ-
дх[

ЭТтП дЦАхт)
ikbmn дх,, дхдх. mnikt к т 1
dr.
Отсюда, интегрируя по частям, получаем
mnik'c Кг/
+ 4 \ 2 -%r {y^s faSmn **"•) dx -
1 mnikt 1 A
4 5 2 (3)
T I ' a
mm/ст
Заметим, что здесь первые два интеграла можно сразу записать в виде
поверхностных интегралов, которые мы сокращенно обозначим через Ох и Оя.
Нетрудно видеть, что множитель при Джт в третьем интеграле есть величина
Вт, введенная выше при рассмотрении соотношения (V). Таким образом,
равенство (3) перепишется в виде
I' - / = Ох -}- 0% - ВтАхт • dr. (За)
J т
В § 2 мы изложили причины, по которым следует отдать предпочтение
координатным системам, удовлетворяющим условию Вт - 0- Такие
405
Ковариантные свойства уравнений поли в теории тяготения
1914 г.
координатные системы мы назовем "соответственными" данному многообразию.
Как вытекает из равенства (За), соответственная система координат
выбирается так, что при заданных на границе значениях координат и их
первых производных (в произвольной системе координат) интеграл I имеет
экстремум.
Преобразование, связывающее соответственные координатные системы, мы
назовем разрешенным. Если преобразование К -^^'разрешенное, то из
равенства (За) следует
/'_-/ = 02 + 02.
§ 5. Доказательство ковариантности уравнений гравитации
Рассмотрим теперь наряду с исследованным в § 4 многообразием М второе
бесконечно близкое к нему многообразие М, причем величины и их первые
производные на границе рассматриваемой области L для многообразий М и М
совпадают. Введем в М координатные системы К ж К' следующим образом:
а) обе координатные системы должны быть соответственными многообразию М\
б) на границе области ? должны совпадать координаты хv и #v, xv и
в) это совпадение координатных систем с точностью до бесконечно малых
величин первого порядка должно сохраняться не только на самой границе
области, но и в ближайшей окрестности границы; это условие
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed