Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
вдоль геодезической. Тогда уравнения геодезической принимают вид
d2x.
2v^? + 2
pv
с
dx* ' ds ds
= 0, (23a')
342
29
Формальные основы общей теории относительности
причем, следуя Кристоффелю, мы ввели сокращенное обозначение
pv
с
>[А0
дх"
+ о V0
дх
6р-у дх"
(24')
Последнее выражение симметрично относительно индексов ц и v. Наконец,
умножим уравнение (23а') на g0T и просуммируем по а. Принимая во внимание
соотношение (10) и используя известные символы Кристоф-феля
' г pv
получаем вместо уравнения (23а) новое
d2x_ Г млЛ dx"
ds2
ds
dx4
ds
0.
(24a')
(236')
Это уравнение геодезической в наиболее наглядной форме. Оно дает
выражение для вторых производных от по s через первые их производные.
Дифференцируя соотношение (236') по s, можно получить уравнения, в
которых производные высших порядков от координат по s также выражаются
через производные первого порядка; так можно получить координаты в виде
разложения в ряд Тейлора по степеням переменной s. Уравнение (236')
соответствует уравнению движения материальной точки в форме Минковского,
в котором через s обозначено "собственное время".
§ 8. Образование тензоров с помощью операций дифференцирования
Фундаментальное значение тензорных величин состоит, как известно, в том,
что уравнения преобразований для тензорных компонент являются линейными и
однородными. Это приводит к тому, что компоненты тензора в произвольно
выбранной системе координат обращаются в нуль, если только они равны нулю
в какой-либо одной системе координат. Если совокупность физических
уравнений приведена к форме, выражающей обращение в нуль всех компонент
некоторого тензора, то эти уравнения имеют определенный смысл, не
зависящий от выбора системы координат. Чтобы иметь возможность создавать
подобные тензорные уравнения, необходимо знать законы, по которым можно
из заданных тензоров образовывать новые тензоры. Возможность производить
это алгебраическим путем уже обсуждалась выше. Мы выведем теперь законы,
которые позволяют из известных тензоров образовывать новые с помощью
операций д и ф-
848
Формальные основы общей теории относительности
1914 г.
ференцирования. Такие законы образования тензоров были даны уже
Кристоффелем, Риччи и Леви-Чивитой. Здесь мы дадим совсем простой вывод
этих законов, который, по-видимому, является новым.
Все дифференциальные операции над тензорами можно свести к так
называемому "расширению". Последнее в случае специальной теории
относительности, т. е. в случае, когда допускаются только линейные
ортогональные преобразования, определяется следующим предположением.
дТЛ1 а
Если TaU',ai представляет собой тензор ранга /, то-~- есть тензор
ранга I + 1. Отсюда легко получаются так называемые "дивергенции"
тензоров с помощью определяемого формулой (10) § 6 специального тензора
При ограничении линейными ортогональными преобразованиями, когда различие
между ковариантными и контравариантными тензорами исчезает, будем
обозначать этот тензор через 6^. В результате внутреннего умножения -
"расширения" - тензора (I + 1)-го ранга на тензор 6^ мы получим тензор (I
- 1)-го ранга:
Это дивергенция тензора Га1... аг" образованная по индексу а*. Наша
задача состоит в том, чтобы сформулировать обобщение этой операции на
случай преобразований, не подчиняющихся ограничивающим условиям
(линейности и ортогональности).
Расширение ковариантных тензоров. Пусть Ф (жх . . . ж4) представляет
собой некоторый скаляр, a S - некоторая заданная кривая в нашем
пространстве. Пусть s - "длина дуги", отсчитываемая в смысле § 1 и 8 в
определенном направлении от некоторой точки Р, лежащей на кривой S. Тогда
значения функции Ф для точек пространства, расположенных на кривой S,
можно рассматривать также как функцию s. Ясно также, что
величины - , -rj-? и т. д. являются скалярами, т. е. величинами,
определяемыми независимо от координатной системы. Однако
а кривая S может быть проведена через каждую точку в произвольном
направлении; поэтому, согласно § 3, величины
Й2ф
(25)
29
Формальные основы общей теории относительности
являются компонентами ковариантного 4-вектора (тензора первого ранга),
который мы можем рассматривать как "расширение" скаляра Ф (тензора
нулевого ранга).
Далее, согласно уравнению (25), имеем:
Ограничим теперь наше рассмотрение предположением (которое не зависит от
выбора системы отсчета), что кривая S является геодезической; тогда,
согласно уравнению (236'),
для которых, согласно формулам (24') и (24а'), выполняется условие
симметрии
Отсюда, в соответствии с формулой (56) из уравнения (27) и скалярного'
характера вытекает, что является ковариантным (симметричным)
тензором второго ранга. Тензор A"v мы можем рассматривать как расши-
<1Ф
рение ковариантного тензора первого ранга А^ ; поэтому форму-
лу (28) можно записать также в виде
Теперь напрашивается предположение, что с помощью дифференцирования
(расширения) ковариантный тензор второго ранга может быть получен по
