Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
взятых выполнялись законы сохранения. Это следует из того, что мы требуем
существования выражений tov для натяжений, плотности потока импульса и
энергии и плотности энергии гравитационного поля, которые вместе с
соответствующими величинами ?av для материального процесса удовлетворяют
соотношению
Если tov с точки зрения теории инвариантов должны иметь такой же
характер, как и Xav, то левая часть этого соотношения не может быть
ковариантной по отношению к произвольным преобразованиям; по-ви-димоМу,
она является таковой только по отношению к произвольным линейным
преобразованиям.
Следовательно, требуя выполнения законов сохранения, мы в значительной
степени специализируем систему отсчета и тем самым отказываемся от
установления уравнений гравитации в общековариантном виде.
Таким образом, здесь находится граница применимости соображений,
приведенных в § 4. Если исходить из системы отсчета, по отношению к
которой выполняются законы сохранения в заданной форме, и произвести
преобразование ускорения к новой системе отсчета, то по отношению к
последней законы сохранения уже не будут выполняться. Несмотря на это, я
считаю, что уравнения, выведенные на основе соображений § 1, не теряют
под собой почвы. С одной стороны, конечно, можно описывать процессы по
отношению к произвольным системам отсчета, с другой стороны, невозможно
понять, какие ограничения возникают для этих уравнений после введения
ограничения на системы отсчета.
15 Недавно я нашел доказательство, что подобное общековариантное решение
вообще не может существовать. (Ср. стр. 265.- Прим. ред.)
200
23
К современному состоянию проблемы тяготения
§ 7. Система уравнений гравитационного поля
Искомая система уравнений должна быть обобщением уравнения
Так как в нашей теории гравитационное поле вместо ф определяют 10 величин
g^v, то вместо одного уравнения мы должны получить 10 уравнений. Равным
образом вместо р в качестве источника поля в правой части уравнений
должен появиться симметричный тензор (c)^ с десятью составляющими, так что
искомые уравнения должны иметь вид
IV представляют собой дифференциальное выражение, образованное из о
котором мы знаем, что оно должно быть ковариантным относительно линейных
преобразований.
Затем я предположил, что IV не содержит производных выше второго порядка.
Далее, закон сохранения требует следующее: если в правой части уравнения
(56) (c)^ заменить на VxIV, то эта часть должна допускать такое
преобразование, чтобы ее, как и левую часть (56), можно было записать в
виде суммы производных. Эти условия позволили, как мне представляется,
единственным путем определить IV и тем самым искомые уравнения. Последние
имеют вид
Уравнение энергии-импульса для материального процесса вместе с
гравитационным полем принимает вид
Из соотношения (9а) видно, что играет для гравитационного поля такую же
роль, как (c)^ Для материального процесса. По отношению к линейным
преобразованиям Vv является контравариантным тензором, и мы будем
называть его контравариантным тензором энергии-натяжений
Пуассона
Дф = 4яхр.
Д[ау (т) - ^
(7а)
причем
и
(9а)
К современному состоянию проблемы тяготения
1913 г.
гравитационного поля. В соответствии с постулатом 2 как и (c)^, описы-
вает источник поля.
Соотношения несколько упрощаются, если ввести компоненты натяжений
"^ov - g
И
tov = V- g go".
T огда эти соотношения принимают вид
2 = *(?",+ t0v), (7б)
af^ 0Х" V dXd 1
о j. 7/ {St д8трдЧ тр 1 v ^траТтр
2x ov - ]/ g^ZjTpv d Q 2 TovTaP dx dx"
|3тр 0 p "Этр a p
а закон сохранения энергии-импульса принимает вид:
С?
2 + t0v) = 0. (96)
V v
Уравнение (76) позволяет заключить, что полученные таким образом
соотношения удовлетворяют постулату 2 16.
§ 8. Ньютоновское гравитационное поле
Полученные уравнения гравитации, конечно, очень сложны. Однако некоторые
важные следствия из них легко получить на основе следующего соображения.
Если бы обычная теория относительности в известной форме была.точной, то
g^ и выражались бы следующими таблицами 17:
Таблица SVv Таблица
1 0 0 0 -1 0 0 0
0 -1 0 0 0 -1 0 0
0 0 - -1 0 0 0 -1 0
0 0 0 с2 0 0 0 1 с2
16 Из уравнения (76) можно увидеть, например, что величины tov, которые
для гравитационного поля играют такую же роль, что и величины ?0v для
материального процесса, являютея в согласии с постулатом 2 такими же
источниками поля, как и величины XCv.
17 Напомним, что сейчас обозначают как g>xv.- Прим. ред.
202
23
К современному состоянию проблемы тяготения
В действительности, уравнения гравитации не допускают, чтобы компоненты
фундаментального тензора принимали эти значения в конечной области, если
в этой области совершается какой-нибудь физический процесс. Однако
оказывается, что в доступной нам области Вселенной отклонения компонент
тензора от указанных постоянных значений можно считать очень малыми. Мы
получим хорошее приближение, если эти отклонения, которые мы обозначим
соответственно через или вместе с их производными мы будем учитывать
