Квантовая механика (с задачами) - Елютин П.В.
Скачать (прямая ссылка):
решений f(r),
103
g(r') уравнения (5.41):
G(r r')Jf{r)g{r,)' Г<Г'* (l } \g(r)f(r'), r>r'.
(5.42)
Тогда из условия (5.40) получаем
r+e r-f-e
lim [ DrG (r, r') dr' = lim ^ -^G(r, r') dr' = 1. (5.43)
e-о J e-v о J
r-e r-E
Член с k2 - v(r) не дает вклада в интеграл, так как из (5.42) следует,
что ФГ всюду конечна. Из (5.43) следует, что (5.42) есть ФГ, если
W(g, fl = ^g(r)-|(r)^f= I-
(5.44)
Условие (5.44) есть фактически условие линейной независимости решений
f(r), g(r); нормировка их выбирается таким образом, чтобы вронскиан W {/,
g} равнялся единице. С помощью ФГ общее решение неоднородного УШ
Drij? (r)=Q (г),
где Q(r) есть некоторая функция, можно записать в виде
со
ф(г) = ф(г) + $ G(r, r')Q(r') dr', о
где ф (г) и G(r, г') - общее решение и ФГ уравнения ?)Лф = 0. Используя
это соотношение, можно представить в виде интегрального уравнения и
однородное УШ (5.41):
ОО
Ф (г) = X {г) - S G0 (г, г') и (/-') ф (/•') dr', (5.45)
о
где введено обозначение
a x(r), G°(r, г') -общее решение и ФГ радиального УШ для свободного
движения
(5.46)
Уравнение (5.45) будет использовано в главе 9 при рас- ] смотрении
состояний непрерывного спектра в центральном поле.
104
13. Формулы (5.45) и (5.46) позволяют получить оценку сверху для числа
N (/) связанных состояний с заданным значением / в поле с потенциалом
U(r). Рассмотрим уравнение (5.46). При k = 0 линейно независимые решения
суть, согласно (5.6),
/(/-) = /+\ g(r) = r~l. (5.47)
Вронскиан вычисляется элементарно:
W = (I + 1) г'г -1 - (- /) г,+1г <'+1> = 2/ + 1.
В соответствии с (5.42) ФГ есть
Gt(r, 0=яТГг<(-7") '
где г< и г> есть меньшее и большее из гиг' соответственно. Решения (5.47)
не принадлежат L2(0, со), поэтому (5.45) принимает вид
СО
Фi (г) = jj 0t (г, г') и (/-') ф[ (г') dr'.
о
Рассмотрим потенциал у и (г), г де 0 :=? у sS 1. Если" (г) удовлетворяет
условиям, полученным в задаче 3.8, - в частности, если u(r)<i 0 всюду, -
то число связанных состояний N (I, у) будет возрастающей функцией у:
N(1, 0) = 0, N (/, у) = N (/),
и энергия связанного состояния будет возрастающей функцией у. Уравнение
(5.45) принимает вид
СО
у *Фг (г) = 5 С,, (г, г')! и (г') I Ф< (г') dr'. (5.48)
о
Число N (/) равно полному числу состояний с нулевой
энергией, появляющихся при изменении у от 0 до 1, т. е.
равно числу СЗ у;1 уравнения (5.48) в этом интервале. Ядру интегрального
оператора в правой части (5.48) можно придать симметричную форму, положив
Гг (г, г') = VI "(.г) I • | и (г') | Gi (г, г'),
ф/ (г) = V I и (г) | Ф, (г).
Тогда (5.48) принимает вид
СО
У<'Ф/ (Г) = 5 Гг (г, г') Фг (г') dr'. (5.49)
О
105
Оператор в правой части имеет симметричное действительное ядро, поэтому
он эрмитов. Сумма СЗ эрмитова оператора, согласно п. 1.19, равна следу
ядра:
со оо
2 vr1 = Spr = -т jj r\u(r)\dr.
Так как в общем случае не все СЗ (5.49) лежат в интервале 0 ^ yt sg; 1,
то
ОО
N(l)^~\r\u(r)\dr. (5.50)
о
Это соотношение называется неравенством Баргмана. Оно позволяет сделать
некоторые выводы о дискретном спектре в поле с потенциалом и {г). Если
при г->- 0 \и(г)\ растет медленнее, чем г-?, то интеграл сходится на
нижнем пределе и число состояний с ВФ, локализованными вблизи
начала координат, конечно: у системы нет бесконечно глубоких уровней.
Если потенциал | и (г) | при г ->¦ оо убывает быстрее, чем г~2, то
интеграл сходится на верхнем пределе: в системе нет сколь угодно мелких
уровней, соответствующих большим средним расстояниям частицы от центра.
Из неравенства Баргмана следует также оценка для Л - максимального
момента, при котором может существовать связанное состояние. Если U{r) =
- U0f(r/a), то из (5.50) следует:
Рис. 16.
2Дв+1^|-г$ f(x)xdx.
(5.51)
Коэффициент при |~2 есть безразмерная константа порядка единицы.
Пренебрегая коэффициентами при 2 в правых частях неравенств (5.12) и
(5.51), можно сравнить следующие из них оценки Л. Зависимость AN и Лв от
|~2 показана на рис. 16. Видно, что неравенство Баргмана дает существенно
лучшую оценку для Л при небольших значениях |~2<5. При больших |-2 лучше
оценка AN.
106
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что в стационарных состояниях частицы в кулонов-ском поле
имеют место соотношения
аТ=0=1А, /2 + п2Д2+1=л2,
где п - главное квантовое число.
2. Энергетический спектр атома водорода ограничен снизу. Поэтому для его
отыскания можно использовать метод факторизации. Найти спектр, используя
операторы
<**=- + у) +"' (а* + ^-) •
В приложениях часто необходимы средние значения величин г* в
стационарных состояниях частицы в кулоновском поле | п, I).
3. Вычислить г1, используя теорему вириала.
4. Вычислить г-2, используя результат задачи 2.5.
5. Доказать рекуррентную формулу Крамерса
+ № + 1)7^ - 1(1 + 1)]^=0
для средних значений гк.
Указание. Умножить уравнение (5.15) на
rknR'_b±LrkR
и проинтегрировать по г.
6. Используя результаты задач 5.4, 5.5, вычислить средние значения г1,
г3.
7. Найти решение УШ для частицы в кулоновском поле при Е = 0.
