Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация
Автор: Белавкин В.П.Издательство: ВИНИТИ
Год издания: 1989
Страницы: 68
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Скачать:
В.П.Белавкин
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ ВХОДНЫХ — ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВАЯ НЕРАЗРУШАЮЩАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ
(Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Новейшие достижения.— ВИНИТИ, 1989.— 36.— С. 29—68) Описана индефинитная структура квантового стохастического (КС) исчисления в Пространстве Фока, развитого Хадсоном и Партв.сарати, и дано определение квантового стохастического интеграла как непрерывного оператора на проективном пределе фоковских пространств. Найдены дифференциальные условия КС исчисления входных-выходных КС процессов и неразрушающих измерений, и доказано, что условие неразрушаемости является необходимым и достаточным для существования условных ожиданий относительно подалгебры наблюдаемых и любого вектора состояния. Развито стохастическое исчисление апостериорных (условных) ожиданий квантовых неразрушаемых процессов, н выведено общее стохастическое уравнение квантовой нелинейной фильтрации как в картине Гейзенберга (для апостериорных операторов), так и в картине Шредингера (для апостериорной матрицы плотности и волновой функции). Показано, что апостериорная динамика, в отличие от априорной, не смешивает состояния, если неразрушающее измерение является полным.
Введение 29
§ 1. Исчисление квантовых входных процессов 31
§ 2. Стохастическое исчисление квантовых выходных процессов 36
§ 3. Стохастическая неразрушающая фильтрация квантовых процессов 40
§ 4. Стохастическое исчисление апостериорных квантовых процессов 45
§ 5. -Стохастические уравнения квантовой условно-марковской фильтрации 52 Приложение. Квантовый стохастический интеграл 61
Литература 66
УДК 519.245
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КВАНТОВЫХ ВХОДНЫХ—ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И КВАНТОВАЯ НЕРАЗРУШАЮЩАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В. П. Белавкин.
Введение
Проблема динамического описания стохастических частично наблюдаемых квантовых систем, содержащих входные и выходные каналы, впервые была рассмотрена в [1] на основе операционного подхода к квантовой теории, разработанного Дэвисом и Льюисом в [16]. Конструктивное описание линейных бозонных моделей таких систем было развито в [2, 12, 13] на основе обобщения стохастического исчисления квантовых шумов, известного в математической физике начиная с 60-х годов [19]. Так впервые появилось не только общее линейное бозонное уравнение Ланжевена, описывающее открытую квантовую систему X под действием входного квантового'процесса, но и квантовое стохастическое уравнение, описывающее согласованный выходной канал. Условие согласованности выходного квантового процесса У, открытое в [2] ра модели квантовой антенны — бозонной струны (линии передачи) с квантовым осциллятором на конце, означало коммутативность прошлых выходных наблюдаемых У‘ = (У(г) с будущими оператора-
ми системы Xt— {^(s) |s^}. Благодаря этому условию, перенесенному на произвольные квантовые стохастические модели, оказалось возможным построить квантовый аналог нестационарной марковской фильтрации [3], получить квантовый фильтр Калмана-Бьюси [2, 13], и доказать оптимальность линейной фильтрации для квазисвободных (гауссовских) бозонных состояний по среднеквадратичному критерию. В дальнейшем выяснилось (см. теорему 3), что такая односторонняя коммутативность [^(s), У(г)]=0, Vs^r является не только достаточной, но и необходимой для существования апостериорных средних от Xt относительно Y1, определяемых условными ожиданиями [21] относительно произвольного вектора квантового состояния. На физическом языке условие существования таких апо-
29
стериорных ожиданий можно выразить в виде принципа не-разрушаемости будущей стохастической эволюции квантовой системы X прошлыми измерениями выходного процесса Y в согласованном квантовом канале. Алгебраическая формулировка {У^сг^}' этого принципа неразрушення и соответствующая теорема реконструкции, позволяющая построить статис-тически-эквивалентный неразрушающий процесс по многовременным операторно-значным мерам любого (в том числе разрушающего) квантового процесса последовательного наблюдения, даны в [4].
Отметим, что условие неразрушення в силу возможной некой мутативности \Х(г), У($)]?=0 при r<s не сводит порождаемые операторные алгебры 3Bt, 9t к абелевому случаю, как это имеет место для самонеразрушающего процесса прямого наблюдения Y=X. Именно в таком тсонтексте самонеразруше-ния, означающем просто коммутативность процесса У, термин неразрушающие измерения был введен Брагинским [6] и затем обобщен на случай косвенных измерений Холево [10].
В этой статье будет развито общее КС исчисление бозонных входных-выходных процессов в открытых квантовых системах и неразрушающих измерений, представленных на фо-ковском пространстве SF, тензорно умноженном на некоторое начальное гильбертово пространство 3@°. Для того, чтобы избежать громоздких выкладок КС исчисления Хадсона — Пар-тасарати [18], мы введем простые тензорные обозначения выявляющие ?-алгебраическую индефинитную структуру основных квантовых процессов, образующих псевдопуассоновский процесс, описываемый в первом параграфе. Рассматриваемое фоковское представление этой структуры близко связано с КС исчислением ядерных процессов Линдсея—Маассена [20], но дано в терминах не ядер, а матричных элементов операторов для многомерного бозонного шума в фоковском пространстве.
