Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
/Нравно cos а и условие равновесия - уравнение момен-
тов относительно неподвижной оси вращения, проходящей через точку О,
будет иметь вид:
mg - cos а - F cos а = 0. (1)
Силы, входящие в уравнение моментов, не заданы, поэтому их нужно
выразить через плотности и объемы тела и жидкости:
m - qlS; F = QogxS. (2)
По условию задачи требуется определить отношение х/1.
Подставляя в уравнение (1) выражения для т и F, после простых
преобразований получим:
Qo - 2 go (-j-j + 6 = 0.
Решая квадратное уравнение относительно искомого отношения, находим:
X Qo - V^Qo - QoQ
I Q0
(Второй, больший корень уравнения, как нетрудно заметить, показывает,
какая часть длины находится в воздухе, если под х подразумевать длину
палочки над водой.)
Пример 6. Стальной цилиндр плотностью q, диаметром d и высотой h опущен в
воду на тонкой цепочке длиной / и массой /Ль Какую минимальную работу
нужно совершить, чтобы вынуть цилиндр из воды за цепочку?
Решение. Чтобы совершить минимальную работу при подъеме тела, к нему
нужно приложить такую силу, которая увеличивала
№
бы потенциальную энергию тела, не сообщая ему заметной скорости.
Для подъема цилиндра из воды необходимо совершить работу Ai по подъему
цепочки и работу А2 по подъему самого цилиндра. В обоих случаях придется
преодолевать только действие силы тяжести, поэтому вся совершенная работа
равна:
А=А,+А2. (1)
Чтобы нижнее основание цилиндра оказалось на уровне
воды, цепочку надо поднять вверх на расстояние / -J- h. Так как по
условию задачи цепочка тонкая, то выталкивающей силой воды, действующей
на цепочку, можно пренебречь, и работа по подъему цепочки равна:
А\ = rti\g (/ -f- /г). (2)
При перемещении цилиндра на него, помимо силы тяжести,
равной m2g, и натяжения, действует выталкивающая сила воды, направленная
вверх и как бы уменьшающая силу тяжести. Пока цилиндр полностью находится
в воде, выталкивающая сила постоянна, когда же цилиндр станет выходить из
воды, выталкивающая сила начнет уменьшаться от максимального значения F,
до нуля. Объем погруженной части цилиндрического тела пропорционален
глубине погружения h, поэтому выталкивающая сила здесь меняется в
зависимости от h по линейному закону, и, следовательно, ее работу можно
найти по формуле
F h
Ar = FBcph = -^~-
Учитывая это, всю работу А2 по подъему цилиндра можно представить как
работу по преодолению силы тяжести, равной m2g, на пути / -f h без работы
постоянной выталкивающей силы на пути / (верхнее основание цилиндра
доходит до поверхности воды) и работы переменной выталкивающей силы на
перемещении, равном высоте цилиндра:
A2 = m2g(l + h)-FBt-FB±-, (3)
ГДе /2
т2 = FB== Q0g^j-h. (4)
С учетом соотношений (2), (3) и (4) вся работа по подъему цилиндра будет
равна:
А = m\g (l + h) + U (е - Qo) + h (q - 0,5qo)] g^j-h.
Пример 7. В дне сосуда проделано отверстие сечением Si. В сосуд налита
вода до высоты h и уровень ее поддерживается постоянным. Определите
площадь поперечного сечения струи, вытекающей из сосуда на расстоянии 3h
от его дна. Считать, что
163
струя не разбрызгивается, силами трения в жидкости пренебречь.
Решение. Решение этой задачи основано на применении закона постоянства
потока жидкости и уравнения Бернулли.
Делаем чертеж к условию задачи (рис. 6.4) и отмечаем на нем сечения
потока Si, S2 и скорости течения воды через эти сечения V\ и V2-
Рис. 6.4
Если не учитывать сжимаемости воды, можно считать, что за любые равные
промежутки времени через сечения потока / и 2 проходит одинаковое
количество жидкости. Согласно
уравнению (6.3") площади поперечного сечения потока Si и S2 и модули
скоростей жидкости 5, и v2 должны быть связаны между собой соотношением
Скорости слоев в потоке жидкости можно определить из закона Бернулли
(6.5), представляющего собой выражение закона сохранения энергии для
жидкости, заключенной в единичном объеме.
При составлении уравнения Бернулли нужно рассмотреть энергию единичного
объема жидкости в каких-либо двух сечениях потока. Одно из этих сечений
нужно взять на уровне 1, второе - на уровне 2, т. е. там, где нас
интересуют скорости v\ и V2- Для определения потенциальной энергии, как
всегда, устанавливаем уровень отсчета высоты. При сравнении энергий,
которые имеет единичный объем жидкости, переходя из' слоя 0 в слой 1,
уровень отсчета высоты берем на слое 1, при сравнении энергий в слоях 0 и
2 - на слое 2.
Находясь на уровне 0, жидкость, заключенная в единичном объеме, имеет
относительно уровня 1 только потенциальную энергию, равную Qgh, так как
по условию задачи скоростью жидкости на открытой поверхности можно
пренебречь. Перейдя в сечение 1 эта жидкость будет иметь только
кинетическую энергию qv\/2. Поскольку работа внешних сил в процессе
перемещения жидкости равна нулю (внешними силами здесь являются силы
атмосферного давления, действующие на жидкость сверху и снизу), то по
закону Беррулли
При переходе единичного объема жидкости с уровня 0 на уровень 2 ее