Философия - Савкин Н.С.
ISBN 5 -7103-0712-2
Скачать (прямая ссылка):
Существование математического объекта эта школа отождествляет с возможностью, его построения. Ее сторонники отвергают экзистенциальные методы доказательства существования математических объектов н признают лишь эффективные доказательства.
§ 3. Проблема обоснования математики 259
Натуральные числа они считают ионятпы-мп для любого грамотного человека, а потому не нуждающимися и каком-то дополнительном обосновании, математику рассматривают как деятельность по умственному построению определенных объектов пз натуральных чисел. Математическое построение должно быть непосредственным и абсолютно ясным, чтобы не требовалось дополнительного обоснования. Следовательно, логика, па их взгляд, не может играть определяющей роли в обосновании математики, ее значение минимально. Ин-туицпоинсты ставят под сомнение применимость закона исключенного третьего к бесконечным множествам, бесконечность трактуют только как' становящееся бесконечное множество.
Преодолеть позицию теоретико-множественного обоснования математики ни Брауэру, ни его последователям не удалось. Считая единственным источником математического знания интуицию ученого, Брауэр пришел к выводу, что математик как научных концепции столько, сколько математиков. Интуиция толковалась им неопределенно, как нечто противоположное логике, не имеющее чувственного характера и эмпирического происхождения. Утверждается, что она «...должна обладать следующими взаимоисключающими свойствами: 1) по существу под ней понимается чисто мыслительная деятельность, 2) она априорна, 3) независима от языка и, главное, 4) одинакова у всех мыслящих существо»1'.
В последние несколько десятилетий в обосновании математики появляется концепция конструктивизма. Как и предыдущая школа, это направление, например, А. А. Марков (1903 г. р.), подвергают критике абстракцию актуальной бесконечности. Исходным понятием для них является конструктивный объект. Как исходное оно не определяется, а лишь поясняется: конструктивные объекты строятся пз таких же элементарных объектов но конкретным правилам подобно тому, как слова из букв. Признаются только эффективные доказательства существования конструктивных объектов, т. е. такие, которые дают способ потенциального осуществления объекта с определенными свойствами. Отвергаются закон исключенного третьего и идея актуальной бесконечности. Конструктивисты используют абстракцию потенциальной осуществимости, заявляют об объективном источнике математики.
В 20-е гг. XX в. в обосновании математики формируется школа формализма. Главный ее представитель - немецкий математик Д. Гильберт выступил с программой, где основным средством становился аксиоматический метод. (Гильберт строго обосновал геометрию Евклида.)
Рузавин Г. И. Ука.ч. соч. С. 260.
260 Глава 14. Философские проблемы математики
Главная цель состояла в том, чтобы доказать непротиворечивость формализованных систем, получаемых в процессе подобного обоснования математики (предполагалось выразить классическую математику в виде формализованно!'} аксиоматической системы и доказать ее непротиворечивость). Содержательный аксиоматически]"! метод для этого не подходил, ибо в нем в определенной мере всегда есть место для интуиции. Поэтому Гильберт не рассматривал аксиомы как содержательные утверждения. «Основная мысль моей теории доказательства, •- пишет он, — такова: все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул...»18 По-иному говоря, содержательное математическое мышление должно быть представлено в виде формальной системы или исчисления.
На деле программа Гильберта оказалась принципиально невыполнимой. Дело в том, что австрийским математиком и логиком К. Геделем (1906 1978) было доказано, что содержательную арифметику невозможно формализовать полностью, т. е. не любое истинное предложение содержательной арифметики можно получить из явно сформулированных аксиом по точно установленным правилам вывода.
Мы остановились лишь на некоторых центральных философских проблемах математики. Их круг гораздо шире.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какие проблемы в математике считаются философскими?
2. В чем смысл абстракции отождествления и определения натурального числа Г. Фреге?
3. Как раскрывалось понимание количественных отношении и пространственных форм в ходе развития практики и познания?
4. В чем смысл современного понимания предмета математики?
5. Каковы особенности математической абстракции?
6. В чем специфика проблемы истины в математике?
7. Каков смысл проблемы обоснования математики и о чем свидетельствуют кризисы в нем?
8. В чем состоит основная идея школы логицизма в обосновании математики?
9. Какова суть интуиционизма и конструктивизма в обосновании математики?
10. В чем основная идея формализма в обосновании математики?
Глава пятнадцатая Философские проблемы физики
§ 1. Категория состояния в физике
Точные определения базовых понятии как классической, так и современной физики являются трудной п вря/1 ли полностью выполнимой задачей. Попытки дать такие, хотя ие совсем строгие, но, па взгляд их авторов, вносящие большую ясность, толкования представляют собой интерпретацию физики. Их обоснование традиционно относят к философии физики (метафизике).
