Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Философия -> Савкин Н.С. -> "Философия" -> 113

Философия - Савкин Н.С.

Савкин Н.С., В.А. Абрамов, А.И. Белкин Философия: Учебник — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2002. — 356 c.
ISBN 5 -7103-0712-2
Скачать (прямая ссылка): filos_savk_2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 159 >> Следующая

Не следует, конечно, думать, что развитие математики полностью детерминируется тем, что она обслуживает запросы производства и прочих наук. Подобная гносеологическая позиция была бы слишком упрощенной, особетю в отношении такой абстрактной науки, как математика. Практика является определяющей основой познания, но любая научная теория, в том числе и математическая, имеет относительную самостоятельность. Многочисленными фактами история математики подтверждает, что различные разделы получают свое подтверждение и применение далеко не сразу. Например, комплексные числа были введены еще в связи с решением квадратных уравнений, а употребляться начали лишь после создания теоретической электротехники — в расчете электрических цепей переменного тока и др. Неевклидовы геометрии были признаны в 60-х гг. XIX в., а использовать их в физике и космологии стали в XX столетии. Эти и многие другие факты говорят о том, что развитие математики может значительно опережать востребованность ее достижений практикой.
§ 3. Проблема обоснования математики 253
§ 3. Проблема обоснования математики
Под обоснованием того или иного теоретического положения понимают прямое пли косвенное установление его истинности, соответствия действительности. При косвенном обосновании признаются истинными какие-то другие положения, называемые основаниями обосновываемого тезиса. Теоретическое знание, хотя и имеет опытное основание, но непосредственно выводится из каких-то теоретических оснований.
Проблемы обоснования математики, принципиально отличаясь от конкретных математических проблем, не могут иметь окончательного решения. В ходе развития математического знания, расширения понятийного аппарата задача переосмысления старых представлении о ее обосновании возникает вновь и вновь. Об этом свидетельствуют три кризиса в обосновании математики.
Первый кризис относится к V в. до и. э. Он был вызван открытием несоизмеримых отрезков пифагорейцами, знавшими только положительные целые и дробные числа, и апориями (парадоксами) Зеиопа Элепского (ок. 490 430 до и. э.). Древние греки, видя практические границы деления предметов, допускали теоретическую бесконечную делимость. Зенон вскрыл трудности, связанные с понятием такой бесконечности. В апории «Дихотомия», допуская бесконечную делимость отрезка, он пытается доказать, что движение ие может начаться, его вообще нет, ибо то, что движется, должно дойти до середины своего пути, прежде чем дойдет до конца. Но чтобы дойти до середины, надо сначала дойти до середины этой середины и т. д., до бесконечности, а это невозможно. Точно так же он доказывает, что движущееся тело ие может достигнуть конца отрезка, ибо оно сначала должно пройти половину отрезка, потом четвертую его часть, затем одну восьмую и т. д., до бесконечности. Следовательно, тело должно пройти бесконечно убывающий ряд отрезков 1,2, 1. 4, 18 1/2", поэтому оно никогда ие доберется до конца своего пути.
Большинство апорий Зенона исходят из представления о бесконечной делимости тела пли отрезка. Это огрубляет реальный процесс деления и приводит к абстракции потенциальной осуществимости. В конечном счете данное представление опирается на потенциальную бесконечность. Обосновать такую абстракцию чувственной эмпирикой невозможно. Задача Зенона в том п заключалась, чтобы показать, что теоретические представления о движении и бесконечной делимости тел противоречат опыту.
Это противоречие объясняется тем, что представление о беско
254 Глава 14. Философские проблемы математики
печной делимости тел является абстракцией, упрощающей, схематизирующей действительные процессы, и именно потому противоречит опыту. Зспоп фактически производит абстрактное деление отрезки па бесконечное количество малых частей, не представляя то, каким образом можно суммировать эти части, чтобы получить целое, т. е. тот же отрезок, подвергнутый мысленному делению. Современная математика владеет аппаратом обратного суммирования бесконечного количества малых частей. Сумма членов бесконечно убывающего ряда отрезков, полученного при разборе апории «Дихотомия», вычисляется по формуле бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Б = а (1-ц) = 0/2) (1-1. 2) = 1. Но надо иметь в виду, что сама эта формула представляет собой тоже абстрактный метод суммирования бесконечного количества бесконечно малых частей, т. е. она элиминирует абстрактную зепоновскую разде-леииость отрезка па эти части, ибо выведена па базе идеи предельного перехода, предполагающего использование потенциальной бесконечности. Зеноп, конечно, этим аппаратом не владел.
Противоречия, порождаемые понятиями бесконечности, вскрытые ЗеНОНОМ И ДРУГИМИ ДреВНеГреЧеСКПМП уЧСПЫМП, ПрПВеЛН 1С тому,
что исследователи стали отказываться от использования в математике бесконечных процессов. Так, Демокрит считал, что деление физических тел, в том числе геометрических фигур, ие может быть бесконечным: его пределом являются атомы, которые сами неделимы. Следовательно, и отрезок прямой разбить на бесконечное число частей невозможно. С этой точки зрения многие парадоксы Зенона оказываются преодоленными. По позиция Демокрита приводит к своим трудностям. Например, оказывается, что не .4106011 отрезок можно разделить пополам, а только состоящий из четного количества атомов. Открытие в школе Пифагора несоизмеримых величин (типа диагонали квадрата с его стороной) подорвало доверие к атомистической математике Демокрита, противоречащей существованию несоизмеримых отрезков. Оно высветило несостоятельность и пифагоровской теории пропорций, исходившей из соизмеримости всех отрезков. Все это и обозначило первый кризис оснований математики.
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed