Философия - Савкин Н.С.
ISBN 5 -7103-0712-2
Скачать (прямая ссылка):
\ Рузавин Г. И. Указ. соч. С. 38.
5 Философия естествознания. М., 1966. С. 269.
в См.: Колмогоров А. Н. Указ. соч. С. 476.
248 Глава 14. Философские проблемы математики
абстракции от абстракций (когда абстрагирование реализуется через ряд последовательных обобщений). Разные связи в различных областях знания могут быть выражены однотипной математической функцией, например у = ах2 + Ьх + с, являющейся результатом абстракции от этого типа функций в частных ее видах с конкретными значениями параметров а, Ь, с. Ыо эти типы функций тоже могут быть различны. Математика, отвлекаясь от этих несовпадений, приходит к абстрактному понятию функции вообще: у = т (х). Своеобразие математической абстракции состоит, как мы уже знаем, и в широком использовании идеальных объектов. К такого же типа объектам относятся понятия потенциальной и актуальной математической бесконечности, сформировавшиеся с помощью специфической абстракции осуществимости.
Реальная бесконечность имеет количественный и качественный аспекты. Это значит, что материальный мир качественно многолик, в различных его локализациях встречаются разные пространственно-временные структуры, а с другой стороны, он неисчерпаем и количественно. Математика абстрагируется от качественного фактора, ограничиваясь изучением лишь той стороны, которая безразлична к кач еств енно й с у щиостн.
Понятие потенциальной бесконечности в математике является результатом абстракции потенциальной осуществимости, которая отвлекается от реальных возможностей построения математических объектов, считая существующими возможности для осуществления п+1-го шага после п-го в процессе построения этих объектов. Понятие актуальной бесконечности представляет собой итог абстракции абсолютной осуществимости, гипотетически допускающей построение всего бесконечного множества определенных математических объектов и считающей их построенными и существующими одновременно. Примером актуального бесконечного множества, заданного всеми своими элементами (завершенной бесконечности), может служить совокупность всех натуральных чисел, если рассматривать ее как законченное множество этих чисел.
Важная отличительная черта математических абстракций состоит в том, что они не требуют обращения к опыту.
§ 2. Проблема истины и практики в математике
Классическое определение истины восходит еще к Аристотелю: это мысль, соответствующая реальной действительности. Проблема
§ 2. Проблема истины и практики в математике 249
истины решается не абстрактно, а конкретно, т. е. исходя из особенностей объектов познания. Конкретность истины в математике обусловливается спецификой ее непосредственного предмета. Как мы уже выяснили, она имеет дело с абстрактными объектами, чем выделяется среди других наук, объекты которых существуют в действительности. Другое серьезное ее отличие дедуктивный характер математического знания, аксиоматический метод построения теорий. Поэтому, если в основании той пли иной математической теории лежат истинные положения (система аксиом), а из них строго логически выведено утверждение (теорема), то ясно, что оно истинно и фактически, п логически.
Но современная математика чаще всего обращается не к содержательной аксиоматике, а к формальной, когда свойства абстрактных объектов описываются пли постулируются системой формальных аксиом. Тогда об истинности пли ложности судят исходя пз определений объектов, фиксируемых в аксиомах. Истинность системы тесно связана с ее нспротмво])еч-и(Юстыо: она не является истинной, если противоречива, т. е. допускает выводимость противоречащих друг другу суждений пли выводов тина 0=1. «Каждая противоречивая система аксиом не отражает соотношений ни в одной области вещей п как бессодержательная исключается из науки. В этом случае систему аксиом называют невыполнимой»7. Говоря о непротиворечивости какой-нибудь системы аксиом, «...математик фактически требует существовованпя хотя бы одной области объектов, для которой его формулы имели бы конкретный содержательный смысл, к которой они были бы прпложпмы, отображением которой служили бы»8.
При этом надо иметь в виду, что непротиворечивость в математике выступает необходимым, обеспечавающим истинность ее теорий условием, но недостаточным. Если система аксиом противоречива, то это не значит, что из нее вытекают только противоречивые суждения. Из нее иногда можно вывести целую иерархию непротиворечивых теорем, но, по образному выражению нидерландского математика Д. Э. Брауэра (1881 - 1966), «неправильная теория, не натолкнувшаяся на противоречие, не становится от этого менее неправильной, подобно тому, как преступное поведение, не остановленное правосудием, не становится от этого менее преступным»9. Именно поэтому математики особое значение придают доказательству
250 Глава 14. Философские проблемы математики
непротиворечивости тех систем аксиом, которые составляют основу разрабатываемых ими теории.
Абстрактные математические теории создаются в конечном счете для того, чтобы использовать их в решении научно-практических задач, интерпретируя в области реальных объектов. Так фактически осуществляется переход из чистой в прикладную математику. Без подобной интерпретации, или превращения утверждений чистой математики, по сути дела, в утверждения опытных наук, невозможна проверка абстрактных математических теорий па истинность. После этого нз системы аксиом логически выводятся следствия, из которых выбираются наиболее удобные для опытной проверки (представляющие собой эмпирические гипотезы). Так в свое время использовали теорему о сумме внутренних углов -треугольника немецкий ученый К. Ф. Гаусс (1777 - 1855), 1*1. И. Лобачевский (1792 -1856). Следовательно, здесь истинность суждений есть их адекватное соответствие действительности (разумеется, с учетом всех упрощений и огрублений, в приближенном смысле).
