Философия - Савкин Н.С.
ISBN 5 -7103-0712-2
Скачать (прямая ссылка):
История математики показывает, что по мере накопления практического опыта и развития познания, науки углублялось понимание количественных отношений и пространственных форм, а значит, и предмета ее исследования. В период первоначального ее становления (с древнейших времен до VII — VI вв. до н. э.), согласно классификации академика А. Н. Колмогорова (1903 — 1987)3, ответом на возникшую потребность в счете стало формирование понятия натурального числа; измерение величин (площадей земельных
3 См.: Колмогоров А. Н. Математики // БСЭ, М., 1954. Т. 26. С. 465
475.
246 Глава 14. Философские проблемы математики
участков, объемов некоторых тел) вызвало появление дробей и собирание фактпческот материала для геометрии. Второй этан (от древнегреческой математики до начала XVII в.) был периодом развития математики постоянных величин. В это время математика утвердилась как абстрактная наука, по содержанию примерно равная курсу элементарной математики, преподаваемой в современной средней школе. В 15 книгах «Начал» Евклида (III в. до и. э.) были синтезированы в теоретическую систему основные факты, результаты развития предшествующей математической мысли. На базе впервые примененного Евклидом аксиоматического метода высокого уровня теоретического совершенства достигла геометрия. 'Грудами ученых Арабского Востока в области решения уравнений было подготовлено создание алгебры.
Третий этап это период развития математики переменных величин (XVII — середина XIX в.). В XVII в. начинают изучаться переменные величины, что означало переход к количественному исследованию процессов. Это было обусловлено практическими задачами механики и астрономии, проблемами механического движения как земных, так и небесных тел. Значительными достижениями стали создание (благодаря трудам Р. Декарта и П. Ферма (1601 1665)) аналитической геометрии, открывавшей возможности анализировать на базе метода координат свойства геометрических фигур алгебраическими средствами, и разработка И. Ньютоном (1643 -? 1722) и Г. В. Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений, с открытием которых наука получила сильный аппарат количественного исследования самых разнообразных процессов реального мира.
Четвертый этап начинается с XIX в. и продолжается в настоящее время. Создаются неевклидовы геометрии, что существенно расширило и обобщило предмет этой отрасли математики, а идея различных интерпретаций исходных понятий и аксиом евклидовой геометрии позволила рассматривать их как некоторые абстрактные структуры. Появляются идеи многомерных пространств п геометрий. Качественно меняется алгебра. Если раньше она в основном занималась решением уравнений и операциями, относящимися только к величинам, то современная алгебраическая наука изучает различные алгебраические операции, заданные на множествах любой природы.
Математика абстрагируется от конкретной природы объектов и специфики конкретного содержания отношений между ними. Ее интересует только структура этих отношений. С учетом всех этих изменений в математике группа французских ученых, предпринявших попытку изложить различные ее теории с позиций формально
§ 1. Природа математических абстракции н проблема предмета математики 247
го аксиоматического метода и многотомном трактате «Элементы математики» (известная под собирательным псевдонимом II. Бурба-кн), единственными ее объектами считает математические структуры, применимые к различным множествам объектов произвольной природы, не имеющей значения для математического исследования. Для определения такой структуры указывают одно или несколько отношении, в которых находятся ее элементы, постулируются аксиомы, которым удовлетворяют эти отношения. На базе данных отношений п аксиом строится теория этой структуры в виде совокупности следствий из аксиом.
Концепция предмета математики Бурбакн признается адекватной положению дел в математике, но ее часто конкретизируют, отмечая, что «в математических структурах отображаются количественные отношения и пространственные формы реального мира»4, причем эти отношения понимаются расширенно. «Было бы, например, грубой натяжкой утверждать, что неевклидовы или многомерные геометрии занимаются изучением только пространственных форм физического мира, а теория групп пли функцпоиыльиый анализ - изучением количественных отношений. Поэтому большинство математиков и определяют в последнее время математику как науку о всех возможных пространственных формах и количественных отношениях действительного мира, а также о формах и отношениях, которые подобны первым или вторым»5. А. Н. Колмогоров, считая пространственные формы частным (специфическим) случаем количественных отношений, подчеркивающим относительную самостоятельность геометрии в совокупности математических наук, склонен был видеть в математике науку о количественных отношениях реального мира6.
Мы выяснили аспект реальной действительности, охватываемый математикой, ее общность с другими науками (через рассмотрение единых для всех них способов абстрагирования). Теперь отметим важные особенности математической абстракции, порождающие специфику предмета математики, а потому в определенной степени конкретизирующих природу математического знания. С этой точки зрения обращает внимание прежде всего то, что это -- абстракции «наибольшей силы», наиболее одностороннее отражение действительности. Отвлечение происходит буквально от всех свойств объекта, за исключением пространственных, количественных пли им подобных. Кроме того, в математике значительнее всего распространены
