Философия - Савкин Н.С.
ISBN 5 -7103-0712-2
Скачать (прямая ссылка):
Отношение эквивалентности множеств симметрично (если множество А эквивалентно множеству В, то н множество В эквивалентно А), транзитивно (если множество А эквивалентно множеству В, а множество В в свою очередь эквивалентно С, то и множество А эквивалентно С) и рефлексивно (каждое множество эквивалентно самому себе). Отношения, обладающие свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности, сходны с отношениями равенства, поэтому их именуют отношениями типа равенства. Объекты приравнивают в каком-либо одном отношеииии, абстрагируясь от других их сторон (отсюда и абстракция отождествления). Отношение типа равенства между ?определенными объектами дает возможность выделить (абстрагировать) некоторое свойство, присущее этим объектам. Так, отношение взаимно однозначного соответствия устанавливается при отвлечении от качественной природы элементов сопоставляемых множеств и характеризует только их количественную эквивалентность. По-иному говоря, с его помощью абстрагируется свойство числа. Немецкий логик, математик и философ, основоположник логицизма в обосновании математики Г. Фреге (1848 -1925) определил натуральное число как общее свойство, прису
244 Глава 14. Философские проблемы математики
гцее всем равнозначным классам (эквивалентным множествам), рассматривая его как некоторый абстрактный объект, результат абстракции отождествления.
Логическое определение данного понятия, по сутн дела, является сокращенным воспроизведением длительного исторического процесса совершенствования техники счета и итогом развития самого понятия числа. Люди не всегда имели представление о числе, но все-таки справлялись с операцией сравнения и счета различных множеств. Их можно сравнивать и путем установления взаимно однозначного соответствия между элементами различных множеств, чем пользовался человек в ранние периоды своего существования, что подтверждается богатым фактическим материалом, собранным этнографами, археологами, результатами изучения умственного развития ребенка.
В истории формирования понятия натурального числа выделяют ряд этапов. Первый характеризуется установлением равночис-леиности различных множеств объектов и полной слитностью общего свойства эквивалентных множеств с конкретной природой сравниваемых множеств. На втором этапе численность множества выражается через ряд других эквивалентных ему множеств (общее свойство осознается как нечто отличное от качественной природы самого множества). На третьем своеобразным эталоном количества служит какое-то специфическое множество (общее свойство отличают довольно четко от других свойств множеств). Четвертый этап приводит к тому, что общее свойство всех эквивалентных множеств абстрагируется в «чистом» виде, т. е. выступает как абстрактное понятие натурального числа1.
Абстракция отождествления применяется не только в математике. Этим методом, например, в экономической науке выделяется общее свойство всех товаров — стоимость.
При образовании исходных понятий математики широко используется идеализация как специфический прием абстрагирования. С ее помощью образуются такие понятия, «которые выражают не реально существующие свойства объектов, а свойства, значительно отклоняющиеся от реальных или даже воображаемые»2. Например, геометрическая точка определяется как то, что не имеет частей и величины, размеров. Ясно, что подобного объекта в природе нет. Геометрические понятия «прямая» и «плоскость» являются также идеализациями того же типа. Эти исходные понятия возникли,
1 См.: Рузавин Г. И. О природе математического знания. М., 1968. С. 15 - 23.
2 Там же. С. 27.
§ 1. Природа математических абстракций и проблема предмета математики 245
скорее всего, в итоге мысленного процесса предельного перехода от реальных свойств объектов к абстракциям (понятие точки, в частности, могло быть получено как результат неограниченного уменьшения размеров реального объекта).
В целях придания общности н законченности теории в математике нередкоо пользуются «идеальными» элементами, вводимыми как дополнение к ее реальным объектам. Так, мнимые и комплексные числа были введены для придания общности формулировке теоремы о числе корней алгебраического уравнения.
Метод идеализации как прием абстрагирования применяется не только в математике, но указанные его особенности и то, что в ней происходит отвлечение от всех качественных свойств объектов и внимание сосредоточено исключительно на чисто количественных и пространственных их свойствах, свидетельствуют о том, что связь идеальных объектов математики с реальностью более сложная, чем в других областях знания.
То, что процесс абстрагирования в математике в сущностном плане совпадает с таким же процессом в естествознании и социальных науках, делает это явление не случайным. Математика и другие науки имеют общность: все они постигают материальный мир, отображают его закономерности. Специфика математики в том, что она изучает количественные отношения и пространственные формы реальной действительности, присущие всем ее объектам и процессам, что обусловливает ее абстрактный характер. При этом надо иметь в виду, что вплоть до середины XIX в. количество, количественные отношения вообще сводились к величине, отношениям между величинами. А так как результаты измерения величии могут быть выражены числом, то количество часто понималось как число, а математика — как наука о зависимостях между величинами или числами, выражающими эти взаимосвязи. На самом деле количественные отношения и пространственные формы имеют более широкий смысл.
