Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
3 П \ летворяющих условию Re ~ > Im I - -1J -
3
Пусть z — х + Iy. Тогда Зх
1
Z
X+Iy
x-iy
~2- 2 и» значит»
X +у
2 , 2 »
X + у
Im
^ -1^ - • Исходное неравенство
Зх
X +у -У
перепишется так: ~^ ? > ~2 2 * Последнее неравенство
X +у X +у
можно заменить системой двух условий: Зх > -у и х2 + у2 * 0,
или у > - Зх и X2 + у2 * 0.
Искомое множество изображено на рис. 2.27. Отметим, что граница множества (прямая у — -Зх) принадлежит ему за исключением точки (0; 0).
2.159. Решите уравнение
1Ogx(X-6Tx -9х + 92-3*" 1-101 + 2-3?"*)- 1.2.
¦Ф Представим правую часть уравнения в виде logx(x1,2),
или logx(x^/x). Используя условие равенства логарифмов с одинаковыми основаниями, перейдем к уравнению
-9х + 92 - 3х - 1 - 101 + 2 • З3 * х - О.
Последнее уравнение является следствием исходного. Избавившись от логарифма по основанию х в левой части уравнения, мы могли приобрести посторонние решения. Поэтому возможны два подхода: по окончании решения показательного уравнения сделать проверку корней или же сразу задать ограничения, вытекающие из свойств логарифмической функции.
Рнс. 2.27
176
Выберем первый подход. Умножим обе части показательного уравнения на -3х и сделаем замену t = 3*. Получим уравнение З*3 - 92г2 +303* - 162 = 0. Будем искать его рациональные корни. Начнем с поиска целых корней. Ими можно считать все целые делители числа 162. Однако нет смысла проверять каждый делитель.
Заметим, что три из четырех коэффициентов многочлена в левой части уравнения делятся на 3, поэтому не стоит проверять числа ±1 и ±2. Начнем проверку с числа 3 и убедимся, что оно является корнем. После этого представим левую часть
уравнения в виде (t — 3)(3*2 — 83r + 54) и найдем все корни последнего уравнения: *j — 3, t2 s 27, *3 — 2/3.
Возвращаясь к переменной х, получим X1 =- 1, X2 ™ 3, X3 — log3(2/3). Проверка показывает, что только X2 удовлетворяет исходному уравнению, так как X1 e 1, X3 < 0, а логарифмы с такими основаниями не определены.
Ответ: 3.
2.160. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у — 4 + + Jx + 2 , у - -0,6х +- 2,8 и X - JlO-у.
^ Изобразим заданную фигуру, для чего построим графики функций у -= 4 + Jx+2 и у = -0,6х + 2,8, а также график
уравнения X — JlO - у. Последний может быть построен как
график функции у — 10 - х2 при х > 0.
Найдем абсциссы точек A9 В и С (рис. 2.28). Для этого используем построенные графики.
Из рисунка определяем, что абсцисса точки А равна —2.
Действительно, подставив -2 вместо х в уравнение 4+ Jx+ 2 — = -0,6х + 2,8, получим 4 + -/-2+2 = 4; -0,6• (-2) + 2,8 - 4.
Графики у =- 4 + Jx + 2 их=- JlO-г у имеют единственную общую точку В. Можно предположить, что ее абсцисса равна 2. Убедимся, что точка (2; 6) является общей точкой двух
рассматриваемых графиков. В самом деле, если у — 4 + Jx+ 2,
Рис. 2.28
7 За*. ЛЬ 234 177
то 6 4 + J2 + 2 — верное равенство; если х — JlO-у ,то2я
— VlO-6 — также верное равенство.
Наконец, убедимся, что абсцисса точки С равна 3, для чего проверим, что 3 является корнем уравнения -0,6л: + 2,8 в 10 - х2.
Имеем -0,6-3 т- 2,8 =-10-32 — верное равенство.
Искомую площадь вычислим как сумму площадей фигур ABD и CBD.
Так как на отрезке [-2; 2] выполняется неравенство 4 +
+ Jx+2 > -0,6л: + 2,8, а на отрезке [2; 3] — неравенство 10-
-х2 > -0,6л: + 2,8, то искомую площадь найдем следующим образом:
S- J (4 + Jx+2 - (-0,6л: + 2,8))dx + J ((10 - х2) -
-2 2
- (-0,6* + 2,8))dx - (х + 2)3/2 + 0,3х2 + 1,2л: j
-2
+ ^7,2х + 0,3х2- Y)
- 12,5.
Ответ: 12,5.
Замечание. 1. При вычислении абсцисс точек Л, Б и С можно было воспользоваться и алгебраическими методами. Тогда пришлось бы искать корни уравнений 4 + Jx + 2 — -0,6х + 2,8 и 4 + Jx+2 — 10 - хг
(положительный корень). В последнем случае можно, «угадав» корень X — 2, использовать различные характеры монотонности функций у =¦
- 4 + Jx*-2 и у = 10 - X2 при X > 0.
2. При поиске корней уравнения «по графику» необходимо делать их проверку. Отсутствие таковой является существенным недочетом в работе.
2.161. Определите координаты точки графика функции у — 4 + 9х
+ —о-, сумма расстояний от которой до осей координат ми-
X +2
инмальна.
^ Расстояние от точки с абсциссой х графика у = f(x) до оси Ou равно |х|, а до оси Ox оно равно |/(х)|.
Убедимся, что для всех действительных значений X вы-
9х
полняется неравенство 4 + ~- > 0.
Действительно, 4 +
х2 + 2 9х
х2 + 2
4х +9х + 8 X2+2
> 0 для всех X,
поскольку дискриминант квадратного трехчлена 4х + 9х + 8 отрицателен. Тогда функция, задающая сумму расстояний от
178
точки графика заданной функции, имеющей абсциссу jc, до
9 jc
осей координат, имеет вид r(x) = \х\ + 4 + ~ъ-. Перепишем
V X + 2
функцию г(х) так:
jc+ 4 +
9х
*2 + 2
-х + 4-1-
9*
х2 + 2
при л: > О,
при X < О.
Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. Найдем критические точки. Функция rix) дифференцируема при всех действительных X9 не равных нулю. Запишем ее производную в виде
1 +
г'{х) - <
