Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
графиков у - 1 - (х - 2)3 и у = 1 - g х. При х « 3, с одной стороны, получим ус * 1 - (3 - 2)3 - О, а с другой ус - 1 - | •3 - О.
Площадь заданной фигуры будем искать как разность площадей фигуры OABC и треугольника AOC В свою очередь, площадь фигуры OABD найдем как сумму площадей трапеции ОАВШ> и фигуры DBC
Для трапеции OABDz S - 0,5 (АО + BD)-OD = 0,5(1 + 2)-1-
1,6.
Для треугольника OACz S - 0,5 OC-OA - 0,5-3-1 - 1,5.
3 4 8
Для фигуры DBCz S-J(I-(X- 2)3)dx - (*-^^)| -
-NH-1H-
Итак, площадь заданной фигуры S - SOABD + S1)B0 - S040 - 2.
Ответ: 2.
2.148. Определите координаты точки графика функции f(x) —
— Jin ^2х + - +1J, расстояние от которой до начала координат наименьшее.
Квадрат расстояния от точки с абсциссой X0 графика функции у - /(х) до начала координат равен х§ + (/(х0))2.
Поскольку расстояние между точками — величина неотрицательная, нахождение точки, расстояние от которой до заданной минимально, эквивалентно нахождению точки, квадрат расстояния от которой до заданной минимален.
Здесь квадрат расстояния от точки графика функции /, имеющей абсциссу х, до начала координат выражсется фун-
173
кцией g{x) — X2 + In х + ^ + I^. Мы должны рассматривать
только те значения х, при которых определена функция /. Они за-
( 2 \ 2
даются системой неравенств 1п12х + - + 1|>0и2х+~ +1>0,
2 2
из которой следует 2х + ~ + 1 > 1; 2х + - > О; х > О.
Таким образом, задача заключается в нахождении положительного X9 для которого g{x) минимально.
Функция g дифференцируема на R+9 причем
g'(x) - 2х +
2
2х+х+1
*'(*)-2x^1 +
2 і X -1
x2(2x2 + x + 2)J
Критические точки функции g определяем из условия g'(x)
— О, или 1 +
х2-1
х2(2х2 + х+2)
О на (О; +©о), или 2хА
X3 +
+ Зх2 - 1 - О.
Рациональным корнем уравнения является 1/2. Учитывая это, перепишем уравнение в виде (2х - IX*3 + х2 + 2х + 1) — О.
Очевидно, что кубический многочлен X3 + X2 + 2х +1 не имеет положительных корней, а потому 1/2 — единственная критическая точка функции g на интервале (О; +<»).
Так как ?'(0,1) < 0, a g'(2) > 0, то в критической точке 1/2 производная меняет знак с минуса на плюс, т. е. 1/2 — точка минимума функции g. При х — 1/2 функция g(x) принимает наименьшее значение, а /(1/2) — Jin (1 + 4 + 1) — VIn 6 .
Ответ: (1/2; JIn 6.).
2.149. Решите систему уравнений
Sm4Ax+ Jl + сое яу ™ 0, (X3 + ф + 2ху -5)* Jl • 2*+2-3 •4'-W -0.
^ Рассмотрим первое уравнение. Оба слагаемых в его левой части неотрицательны, поэтому их сумма равна нулю только в
том случае, когда каждое из них равно нулю. Имеем:
• ...
sin4«* — 0; sin ях — 0; х — А, А є Z\ Jl + cos яу — 0; cos Щ — -1; у — 1 + 2I91 є Z.
174
Рассмотрим второе уравнение. Его левая часть определена, если 7-2у+2-3*4*>-10>0, или 3• 4*- 28• 2У + 10 < 0. Решив последнее квадратное неравенство как квадратное относительно 2у, на-14-7Ї66
ходим
< 2У <
14 + л/Ї66
3 ^ л- 2 . Так как 3 3
1 о 14 +Лбб < 2» 8 < з < 9,аі/ — целое нечетное число, то допустимыми значениями для у могут быть только —1; 1 и 3.
Проверим каждое из этих чисел подстановкой во второе уравнение системы.
1) Пусть у — -1. Тогда указанное уравнение равносильно
уравнению Jt3 - 2х - 4 =¦ 0, причем х — целое число. Подходит
X - 2. Тогда (X - 2Х*2 + 2х + 2) - 0; х - 2 — единственный корень. Таким образом, пара (2; -1) является решением исходной системы.
2) Пусть у - 1, тогда уравнение примет вид х3 + 2х - 4 - 0. Проверим числа, которые могут быть его целыми корнями (±1;
±2; ±4), используя, например, схему Горнера. Уравнение х3 + + 2х - 4 — 0 не имеет целых корней, и удовлетворяющих системе пар нет.
3) Пусть тогда уравнение примет вид х3 + б х + 4 — 0. Делители свободного члена — числа ±1; ±2; ±4. Положительные числа не могут быть решениями этого уравнения. Проверив отрицательные (—1; —2 и —4), установим, что ни одно из них не является корнем этого уравнения.
Итак, системе уравнений удовлетворяет единственная пара (2; -1).
Ответ: (2; -1).
2.150. При каких х наибольшее значение функции g{t) — 3* - *3 на отрезке [х; X + 2] не меньше числа 2?
¦t Перейдем к эквивалентной задаче: «При каких х наибольшее значение функции <p(t) — 3f - f3 - 2 на отрезке [х; х + 2] неотрицательно?» Преобразуем выражение для <p(t):
-t3 + 3« - 2 - -(г - IK«2 + t -2) - -О - 1)2(г+2).
Ясно, что <р(г) неотрицательно, когда либо г < -2, либо /=°1.
Для выполнения требуемого условия необходимо и достаточно, чтобы на отрезке [х; х + 2] нашлась хотя бы одна точка, для которой <р(г) неотрицательно, т. е. точка с координатой, меньшей либо равной -2, или точка 1. Это описывается совокупностью неравенства х < -2 и двойного неравенства х < 1 < х + 2, откуда X є (-<»; -2] и [-1; 1].
Ответ: при всех х є (-©о; -2] и [-1; 1].
Вариант 27
2.157. Вычислите 1о?з(соб(0,5 агссов(—1/3))).
¦t Так как 0 < 0,5 arccos (-1/3) < тс/2, то
14-Лбб
cos (0,5 arccos (-1/3))
-і5
cos (arccos (-1/3)) 2
-л
3-0.5
175
Окончательно имеем log3(3 °"5) — -0,5.
Ответ: -0,5
2.158. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, ідов-
