Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
¦в
¦и 3 1.2 6 kx k X
S=J (Ах2-А2хБ) dx - (
т. е. эта площадь не зависит от k.
)
•k
1
6'
2.102. Найдите все общие точки графика- функции у — Zx - Jt3 и касательной, проведенной к этому графику через точку N (О; 16).
157
Рис. 2.20
Рис. 2.21
^ Точка N не принадлежит графику данной функции. Составим уравнение касательной к графику функции, проходящей через лежащую на нем точку М(х0; Sx0 - х0):
у - (3- 3xg) (jc-JC0) + 3jc0- jcg.
Так как точка N должна лежать на этой прямой, то 16 — (3 -
- 3JCg)(O-JC0) + 3jc0- jcg; 16 --3jc0 + 3xg + Зх0- xg; xg - 8; ¦ Jc0-2.
Через данную точку проходит единственная касательная у - (3- 3•22HjC- 2) + 3-2- 23, т. е. прямая у --9л:+ 16.
Рассмотрим уравнение 3jc— х8 =-—9Jt + 16, или Jc3- 12х + 16 —
— О. Очевидно, что X1 — 2 является корнем этого уравнения (абсцисса точки касания). Используя схему Горнера (или другой способ), получим Х2 — 2; X3 — -4.
Ответ: M(2; -2); 2Г(-4; 62).
¦
Вариант 19
2.109. -Пусть Z1 — 3 + 4i, Z2 — -4 + Зі. При каких действительных
Z1
значениях а и Ь выполняется условие ~ =¦ Oz1 + Oz2?
2
і+ Находим
fl 3 + 41 (8 + 40(4 + 31)
Z2 —4-з«— 42+32 —*
Oz1 + bz2 - (За - Ab) + (4а + Sb)U
Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему
J За-46 = О, 1а--0,16,
|4а + ЗЬ«-1 1&--0Д2.
Ответ: а --0,16; Ь --0,12.
158
<
2.110. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения ein Sx + + cos X — 0.
Имеем:
sin3rc + cosx =-= 0; sin3x + sin^ -jc j — 0; 2sin^ + xj cos^2x-?^ = 0;
sin^ + jcj = 0, cos ^2 jc - ^ = 0;
я
Зя тс Де *• n є Z
8 + 2 '
Наибольшее отрицательное число в первой серии корней — это -я/4 (при п = 0), во второй серии — это -я/8 (при к — -1).
Ответ: -я/8.
2.111. В геометрической прогрессии (Ьп) с положительными членами выполняется условие — {bi + 2>2)(3&i + 4?)- При каком значении знаменателя прогрессии сумма четырех первых членов принимает наименьшее значение? Найдите эту сумму.
^ Пусть q — знаменатель .прогрессии {q > 0, так как все члены прогрессии положительны). Тогда данное условие примет вид O1 = O1(I + q)• bx(S + 4g), или O1 = (1 + g)(3 + 4g) №* * °>* Следовательно,
S4 - Ml + q + q2 + g3) - O1(I + g)(l + q2) - _
(l + gKl + g2) _ 1 + q2 = (l + g)(3 + 4g) 3 + 4g-
I + Jc2
Найдем наименьшее значение функции fix) = ^ в про-
4jc2 + 6jc-4 •
межутке (0; +оо). Имеем / (х) — -; f'{x) =* 0 при jc1 —
(8 + 4*Г
= 0,5; jc2 *= -2. На интервале (0; +оо) хг =- 0,5 — точка минимума, единственная критическая точка; при этом min f(x) —
(0;+оо)
- /(0,5) - 0,25.
Итак, минимальное значение S4 достигается при q = 0,5 и равно 0,25.
Ответ: S4> min — 0,25 при q = 0,6.
159
2.112. Решите неравенство \ogJ3x2 - 6х + 2) < Iogx J+-Tj + 3-
Переписав неравенство в виде \ogJ3x2 - 6х + 2) + 1Ogx[X ¦+ + 2) < 3, снедем его к совокупности двух систем:
(D
О < X < 1, Зх2-6х + 2>0, X + 2 > О, <^
X3 < (Зх2 - 6х + 2Kx + 2);
х>1,
Зх2 - 6х + 2 > О, X h 2 > О,
.3
х* > (Зх3 - 6х + 2)(х + 2). Систему (1) преобразуем к виду
О < X < 1, (х-I)2 > 1/3, 2х3 - 1Ox + 4 > О.
Неравенство (х - I)2 > 1/3 выполняется при х < 1 - -J= и
*J3
1 я
при X > 1 + -J=, а неравенство 2х* - 1Ox + 4 > О можно записать как (х - 2К2х2 + 4х - 2) > О, откуда х> 2и-1- J2 < х< < -1 + л/2.
Теперь сравним числа -1 + J2 и1-4. Имеем
J3
-I+ Л V 1-і; ^8-^-.8 V4+|- ^ v|;
4 V§ V 7; 48 < 49; -1 + JU < 1 - .
Итак, решения системы (1) — все х є (О; -1 + л/2 ]. Система (2) сводится к следующей:
х> 1,
1
3
2х3 - 1Ox + 4 < О.
(х-I)2 > о,
Решениями неравенства 2х3 - 1Ox + 4 < О являются значения X < —1 - J2 и—1+ J2 < х < 2, а решениями системы
(2) — все X є (1 + Ji; 2].
Объединяя решения двух систем, получаем ответ.
Ответ: (0;-1 + J2]u(l + ; 2].
160
2.113. Докажите, что площади фигур, каждая из которых ограничена
графиком функдин у =» х3 - 6х2 + 1 и одной из касательных к этому графику, параллельных оси абсцисс, равны.
¦fr Точки графика, в которых касательная параллельна оси Ох, найдем из условия у'(*о) =- О. Имеем yf — Sx2 - 12х; у' — О при X = О и л: = 4.
Касательная, проведенная в точке графика с абсциссой О (ее уравнение у =¦ 1), имеет с графиком две общие точки; их абсциссы О и 6.
Касательная, проведенная в точке графика с абсциссой 4 (ее уравнение у — —31), также имеет с графиком две общие точки; их абсциссы 4 и -2.
Найдем площадь первой фигуры:
6 6 в
^1- /|гс3-вд:2 + 1-і| d*-J(6x2-x3) dx-(2x3-^-)
о о
Найдем площадь второй фигуры:
4 . 4
S2~ JU3-6*2+1 + 31l dx " J<*3-6*2 + 32) dx -
-2 -2
4
-іоа
о
(^-2х3 + 32х)
= 64 -(-44) = 108.
2
Итак, Si — S2.
2.114. Найдите множество значений функции у *- sin х-е0082-*.
¦fr Функция f(x) — sin x*ecoa2jc дифференцируема на Л и периодична с периодом 2л. Поэтому наибольшее и наименьшее значения она принимает н своих критических точках, которые достаточно рассмотреть на отрезке, длина которого равна периоду, например на промежутке [—я; тс]. Имеем:
/'(X) - (sin X (-2sin 2х) + cos х)есоз2х;
/'(X) - cos X (1 - 4sin2x)*cos2jc;
/'(х) = 0 на промежутке [-я; тс] при cosx.= 0, т. е. при
