Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
системы имеем J2 \г + 2i| — |z- l| Пусть z — х + «/; тогда 2(x2 + (у + 2)2) - (х - I)2 + у2. Так как у - -3 для каждой из иск< мых точек, то 2х2 + 2 - x2 - 2х н 1 + 9; х2 + 2х - 8 - 0; x1 - 2; x2 ™ -4. Системе уравнений удовлетворяют два числа: z1 =¦ 2 - Si; z2 - -4 - 3t.
Ответ: z1 =- 2- Зі; z2 =-4- 3t.
2.088. Пользуясь геометрической интерпретацией определенного ин-
2
теграла, вычислите J *J2x- т? dx .
0.u
# Пусть у - л/2х- x2. Тогда у > 0, а и2 - 2х - х2, или у2 + (х - I)2 — 1. Это окружность с центром в точке M (1; 0) и ра-|
диусом 1, а у — а/2х-х2 — полуокружность, лежащая
152
2лА,
Рис. 2.17
верхней полуплоскости (рис. 2.17). Искомый интеграл равен площади заштрихованной части полукруга (криволинейной трапеции): Scab = sacam + 5сект. амв-
CM я
В AMAC имеем cos Z_ CMA — Т7~Х ™ 0,5; Z_ CMA — 5 , т. е.
2л
Z_ AMB e "g" . Следовательно,
'сект. amb
2я/3
271
я
'круга в 3 »
1 То"
-Sacam= 2 МС*АМ ¦ sin Z_ CMA =
73 я
Ответ: ~g~ + g .
2.089. Найдите множество значений функции ф(х) = /(х) - /^x + j J» где
Яг)" х + хТЇ •
+ Областью определения функции /(х) является множество Я\{-1}-
Область определения функции <р(х) состоит из всех X7 для которых определены как /(х), так и f ^ * , т. е. х * -1 а
*-1 (х*-2).
Таким образом, ХНф) — Й\{-1; -2). Преобразуем <р(х) на ее об-
ласти
определения: Ax)- f (^-Tj) - х + ~~ - 77т - "Т^- -
4 J ' -7 + 1
X+ 1
158
Рис. 2.18
- JC-I +
х+ 2 • Построим трафик функции
J ф(х) при х*-1, " 1 -1 при jc --1 (рис. 2.18).
Имеем Dig) — Я\{-2). Функция gix) дифференцируема на
своей области определения и g'(x) ™ 1 — -5. Из условия
(X+ 2)2
g'{x) ™ О находим критические точки: Jc1 ~-1, X2 —-3. Далее,
gi-3)--5; gi-i)--1, откуда E(g) - (-~; -б] и [-1; +«).
Поскольку <р(х) при X — — 1 не определена (см. рис. 2.18), точка 1/-=-1 не принадлежит множеству значений функции <р(х).
Ответ: ?(ф) - (-оо; -5] и (-1; +«).
2.090. При каких значеннях р из точки В(р; -1) можно провести три различные касательные к графику функции у — х8 — Зх2 + 3?
^ Составим уравнение касательной к графику функции у ~ х3-- Зх2 + 3 в точке с абсциссой х0: у = (Зх§ - 6X0)X- 2х§ + Зх§ + 3.
154
ч Рис. 2.19
Так как касательная должна проходить через точку В(р> -1), то (Зх^ - 6х0)р - 2х% + Зх§ + 3--1, или Зх0 *Р9 (*о - 2) - (x0-- 2)(2xq + х0 + 2) — О. Отсюда x02 (это видно из рис. 2-19) или 2х\ + x0- 3xqP + 2-0.
Рассматривая последнее уравнение как квадратное относительно х0, находим значения р, при которых оно имеет два
различных корня, причем ни один из них не равен 2. (Корень
равен 2, если 2*22 + 2- 3*2-р + 2 - 0, т. е- прир - 2.) Имеем
D-(I- Зр)2- 16 - 3(3р2- 2р- б); D > 0 прир <-1 ир > 5/3.
Исключая из найденных значений число 2, получаем ответ.
Ответ: (-°о;-1) и (5/3; 2) и (2; +~).
Вариант 17
і
2.097. Изобразите комплексные числа z, удовлетворяющие условию 2 1 + f
1-і (1-і)2 ч Я 3 ~_
Так как ^Ti ™ і + l ~~*» то 2 или 2 = * - Отсюда
-l± JS
(г - 0(2 + - 1) - 0, т. е. Z1 - i; z2i3
Следовательно, существуют три такие точки: А(0; 1);
В(л/3/2; -1/2); С(-J§/2; -1/2). Они лежат на единичной окружности и делят ее на три равные части.
Ответ: А(0; 1), В( J3/2;-1/2), C(-J§/2;-1/2).
155
2.098. Решите неравенство 3 7бн ж-jt2 > 4Х - 2.
^ Данное неравенство равносильно следующим условиям:
"J 4х-2 < О, I 6+ х-х2>0; I 4х - 2 > О, [|9(6 + х-х2)>(4х-2)2
^Г-2<х<1/2, L 1/2 < X < 2
< 1/2, -2 < X < 3; X > 1/2, -1 < X < 2
-2 < X < 2.
2.099. Решите систему уравнений
Ответ: [-2; 2).
sin X + ein у = 1, |х - у\ - 2п/3.
Производя равносильные преобразования, получим
о ¦ Х + У Х~У - I/I в 2тс/3
2sin
- Х + У я
COSO " 1,
\х-у\ = 2п/3
X +
sin—TjT в 1, |х-у|-2я/3
J X + н - я + 4яА,
= 2я/3
<=>
X + н - я + 4яа,
х-п = 2я/3;"
X + у - я + 4яп,
Ц х-н=-2я/3;
<=>
X —
5я
"6 + 2кк, я
Q + 2пЛ; я
6 + 2яп, 5я
"g" + 2яп.
5я
X -g- + 2яЛ,
я
2яА;
я
Ответ:
X - g + 2яп,
Замечание. Буквы в разных парах серий решений могут быть одинаковыми, во использование в одной серии различных букв иедопусти-
156
мо. Например, первую серию решений нельзя записать так:
* 6я X - +2л/,
у — ё + 2л/п.
2.100. Не пользуясь микрокалькулятором, сравните с 'нулем число сов(?/Ёё)» где х0 — корень уравнения log9(log3;p^--1Og9(IOg31S^c).
/ X 4 1
Уравнение 1Og9IlOg3O^ - log9--
равносильно системе
logs
L27 log."/;*
log327 >0-
10
и
Уравнение системы преобразуется к виду 1Og3Jt — 3 ~ \-.
1Og3X
Пусть log3x - t, тогда f2 - St - 10 = 0, т. е. = 5, f2 ~ ~2- Значение log3x — 5 удовлетворяет системе, а значение log3x =-2 — нет.
Таким образом, X0 - 243. Далее имеем SJx^ З6/8, Js < < З6/8 < 3, т. е. \ < 3Б'8 < KlJs > 1,7, а § .< 1,7) и cos 8/? < О.
¦
Ответ: cos&Jx^ < О.
2.101. Докажите, что при всех А > O площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — k2xb- kx2 и осью абсцисс, не зависит от ft.
^ Найдем производную функции у:
у' - 5A2x4- 2Ах; у' = М5Ах3- 2).
Учитывая, что Дс > О, построим схему изменения знаков функции (рис. 2.20) и изобразим график функции (рис. 2.21). Вычислим площадь искомой фигуры:
