Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
~~2-2 ^ * Равносильно системе
(*-i)2 + y2-2j/<o;
(х- I)2 + у2 ф О.
Неравенство (х - I)2 + у2 - 2у < О перепишем в виде (х - I)2 +
+ (у — I)2 < 1* Это соотношение задает круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1. Точка (1; О) принадлежит кругу, однако ее координаты не удовлетворяют второму условию системы. Полученное множество изображено на рис. 2.10.
Ответ: круг с центром в точке (1; 1) и радиусом 1, исключая точку (I; О).
2.042. Исследуйте функцию / и постройте ее график, если
[Зх2-4дс + 1 при x < 1, ГЮ-U-l при*>! и/(0)-4.
¦Ф Поскольку fix) есть первообразная для /"(х), при х < 1 имеем f(x) = X3 - 2х2 + X + C1, ДО) - 4. Отсюда C1 - 4 и, следовательно, при X < 1 выражение для / имеет вид f(x) = ха — 2х2 + + X + 4. При X > 1 имеем fix) =* X - lnx + C2. Так как fix) имеет в точке X — 1 производную (согласно условию /'(1) = 1 — -(1/1) = О), то fix) непрерывна в точке 1, а это значит, что
139
Ilm (je8 - 2x2 + x + 4) - lim (x - Inx + C2), т. e. 4 - 1 + C2 и Ci ¦= 3. Итак, функцию /(x) можно задать следующим образом:
_ Jx3- 2х2 + X + 4 при X < 1, Ix- In X + 3 при X > 1.
Проведем ее исследование по обычной схеме. Областью определения /(х) является множество R. Функция непрерывна и дифференцируема на всей области определения. Бе производная задана в условии, а критическими точками функции являются корни ее производной, т. е. 1/3 и 1. Неравенство /'(jt) > О справедливо при х < 1/3, а также при х > 1. В силу непрерывности функция /(х) возрастает в промежутках (-«s 1/3] и [1; +«>). Если 1/3 < X < 1, то f'(x) < О, т. е. f(x) убывает в промежутке [1/3; 1]. При X — 1/3 производная функции меняет знак с плюса на минус; следовательно, 1/3 — точка максимума /(х). Аналогично, 1 — точка минимума функции.
Вычислим вторую производную: /" (х) ™ бх - 4 при х < 1 и
/"(X) - 1/х2 при X > 1. Так как lim (6х- 4) и lim (1/х2)
х->1-0 х->1 + 0
не совпадают, то значение /''(I) не определено. Далее имеем: /" Ix) - О при X = 2/3; если х < 2/3, то (х) < О и график обращен выпуклостью вверх, если 2/3 < X < 1 или X > 1, то /" (х) > О и график обращен выпуклостью вниз. Точка х — 2/3 является точкой перегиба.
Также можно отметить, что функция не является ни четной, ни нечетной, не имеет асимптот и принимает все действительные значения.
Для более точного построения графика составим таблицу значений функции f(x) в некоторых ее точках.
x -1 0 1/3 1 2
У 0 4 * 4 427 4 5- 1п2
е
2 + е
График функции изображен на рис. 2.11.
Вариант 9
2.049. Среди комплексных чисел z, удовлетворяющих условию \z\ — — Jz- 2i1, найдите число с наименьшим модулем.
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля комплексного числа. Как известно, для комплексных чисел z и w величина \z - w\ равна расстоянию между точками комплексной плоскости, соответствующими числам zuw. Точки, соответствующие числам г, для которых выполняется равенство !2)-(2-24, равноудалены от точек (0; 0) и (0; 2) комплексной плоскости, а следовательно, образуют прямую у — 1. Среди точек прямой наименее удаленной от начала координат является точка (0; 1).
140
Рис. 2.11
Она соответствует числу z — І — числу с наименьшим модулем, удовлетворяющему заданному уравнению.
2.050. Найдите расстояние между касательными к графику функции у = j г - 2х +Sx н 5, параллельными оси абсцисс.
¦Ф Найдем производную заданной функции и вычислим ее
корни: у' = X2 - 4х + 3; у' = 0 при 1 = 1и при х ~ 3. Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю. Поскольку угловой коэффициент касательной численно равен значению производной функции в точке касания, нужно составить уравнения касатель-.ных к графику в его точках с абсциссами 1 и 3.
При X — 1 уравнение касательной имеет вид у = у(1), или у = 19/3; при jc — 3 оно имеет вид у *= у(3), или у — 5. Расстояние между двумя найденными касательными равно 19/3 — 5 — 4/3.
От в ет: z в /.
Ответ: 4/3.
2.051. Решите систему
141
Решениями квадратного неравенства х2 - Злх + 2л2 < О являются все х из промежутка [л; 2л].
Рассмотрим уравнение данной системы. Для его решения рассмотрим два случая.
1) COSX > 0. Тогда |cosxj — cosx, и уравнение примет вид 1 —
— cos 2х - 1. Очевидно, что последнее уравнение не имеет решений.
2) cosx < 0. Тогда (cosx] =-cosx. Имеем -1 — cos2x- 1; cos2x =
л лп
— О, откуда х=-^ + ~2 , где л — целое. Учитывая, что л < х <
л лп
< 2л, получим ограничения на п: л < "g + ~2~ < я» откуда п — 2
или л»3. Если л =¦ 2, то х = 5л/4, что удовлетворяет условию cos X < 0. Если же п - 3, то X 3 7л/4, и условие cos х < О не выполняется.
Итак, единственным значением-х, удовлетворяющим системе, является 5л/4.
Ответ: 5л/4.
2.052. Решите неравенство log3( Jl2 + х — 2) > 0,51og3(x + 2). r
Учитывая, что выражение х + 2 положительно, перепишем
исходное неравенство в виде 1Og3(Vl 2 + х - 2) > log3*/x + 2 . Так
как у — log3t — возрастающая на всей своей области определения функция, то последнее неравенство равносильно двойному
неравенству Vl2 + x - 2 > Jx+ 2 > О. Неравенство + 2 > О выполняется при всех X > —2. Для решения неравенства
