Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
3r3- 13r2 + 13t- 3 — 0, или 3(г3- 1)- 13t(t- 1) - О, или (t - 1ХЗг2 - 10t +3)-0.
Отсюда ti 1, t2 » 3, *з — 1/3. Вернемся к неизвестным х
и у; при этом имеем три возможности: х — у, х — 3уиуа Зх. Подставив первое из этих соотношений во второе уравнение исходной системы, приходим к неверному числовому равенству: О ю 6; в этом случае решений нет. В случае х = Зу из первого
уравнения получим 26у3 — 26, у — 1, откуда х — 3- Наконец, в
случае у = Зх из первого уравнения получим—26х3 ¦» 26» х — — 1, откуда у — -3.
Замечание. В применении к данному примеру IV способ выглядит более громоздким, однако он является наиболее универсальным: его использование позволило лишний раз напомнить об одном из часто встречающихся типе уравнений — однородных уравнениях.
Вариант 5
2.025. Решите уравнение j2x-xZ - 2 - Зх.
¦* Избавимся от иррациональности, возведя обе части уравнения в квадрат. Для того чтобы при этом не нарушилась рав-
5*
131
носильность, правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
2х - х3 - (2 - Зх)2,* 2 - Зх > О.
Преобразуя уравнение этой системы, получим х3 + 9х2 -
— 14х + 4 — 0. Учитывая, что х = 1 — один из корней уравнения, перепишем его в виде (х - 1)(х2 + 10х -4)-0. Помимо X — 1 корнями последнего уравнения являются числа Х2,з —
- -5 ± 729.
Подставим каждое из найденных значений х в неравенство 2 - Зх > 0. Тогда:
при X0I неравенство не выполняется;
при X — -5 - 729 имеем 2 — 3(-5 - «/29 ) > 0 — верное числовое неравенство;
при X =-5+ 729 получим 2 - 3(-5 + 729 ) - 17-3729 =» ™ 7289 — 7261 > 0 — верное неравенство.
Итак, системе, а следовательно, и исходному уравнелию удовлетворяют числа -5 - 729 и-5 + 729.
Ответ:-5- 7§9;-5 + 729-2.026. Решите неравенство log 2х_15 < log 2x_v х.
x x
¦Ф Используя монотонность логарифмической функции, заменим исходное неравенство совокупностью двух систем:
л 2х-1 0<— <1,
5 > X9 X > О
и
2х-1
X
X > 5.
>1,
Так как х > О, то первую систему можно привести к виду
О < 2х- 1 < х, О < X < 5,
или
0,5 < X < 1, О < X < б,
а вторую — к виду
2х- 1 > х, X > 5,
или
х> 1, X > 5.
Ответ: (0,5; 1) и (5; +«>).
2.027. Решите уравнение 4|созх| + 3 — Ь соз 2х, если один из его корней равен 2я/3. J
^ Подставим в уравнение вместо х значение 2я/3 и получим 4 • |—0,5| + 3 - Ь • (-0,5), откуда Ь = -10, а само уравнение примет вид 4|cosx| + 3 =-10 cos 2х.
132
Применив формулу косинуса двойного угла, придем к уравнению 4|cosx] 4-3 4- 10(2COs2X - 1) =¦ 0. Последнее уравнение можно записать как квадратное относительно |cosx|: 20|cosxp 4-+ 4|cosxl - 7 — О, откуда |совх| = 0,5 или |cosx| я - 0.7.
Уравнение jcosx) = -0,7 не имеет корней, а уравнение (cosx) =
— 0,5 удобнее всего решить, перейдя к двойному углу: <k»«?2x ™
- 0,25; 2coszx- 1 =-0,5; cos 2х - -0,5; х - ±g 4 nk9 к є Z.
л
Ответ: Xе ±д 4- Kk9 к є Z.
2.028. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у -
6 ¦ ,
~ [xTlj • У - 3 - |3 - х|.
і
Представим функцию у = 3 - |3 - х\ в виде
X при X < 3,
6-х при X > 3.
Площадь заданной фигуры (рис. 2.6) будем искать ка: сумму площадей криволинейных трапеции ABP и BPC Абсциссы точек Л и С находятся с помощью рисунка и равнь
Рис. 2.6
соответственно 2 н 5. Имеем S
8
(4,5-2)-
-6-(1п4-1пЗ)-2,б-1п g; Sbpc- i(e-x-JTl) dx " (бх-|--61п |x + l|) -
8
з
-6-(5-3)-(12,5-4,5)-6•(In 6-In 4)-4-6In
4 З
- Отсюда Sabc " ^АВР + Srpc - 2,5 + 4 - (In g + In g)."
— 6,5 - In 2.
Ответ: 6,5 - In 2.
2.029. Составьте уравнения всех общих касательных к графикам функций у - X2 + X + 1 и у - I (х2 + 8).
¦fr Прямая у — ах + Ь является касательной к параболе у —
— fix) тогда н только тогда, когда уравнение /(х) — ах + Ь имеет единственное решение. Так как это уравнение сводится к квадратному, то задача о нахождении общих касательных к двум параболам сводится к определению тех пар а и о, при которых дискриминант каждого из двух квадратных уравнений обращается в нуль.
В данной задаче эти уравнения имеют вид х2 + х + 1 —
— ах + Ъ и 2 (*2 + 3) — ох+Ь, аих дискриминанты — соответственно (а - I)2 - 4 + 40 и 4(а2 - 8 + 2о). Решим систему уравнений
і2 - 2а - 3 + 4& - О,
I
а2-8+ 26-0.
Вычитая из первого уравнения второе, находим а — Ъ. Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы и получим а2 + 2а - 3 — О, откуда а — 1 или а — -3.
Таким образом, искомые касательные задаются уравнениями у — х+1иу — -Зх- 3.
Ответ: у — х+1 и у = -Зх - 3.
2.030. Из всех чисел z, удовлетворяющих условию г • г — 25, найдите такие, что \г — 7] + |z — 7i| принимает наименьшее значение.
¦fr !способ. Пусть 2 — X + iy. Тогда z ¦ z = (х + *у)(х - **/) —
— X2 + у2. Уравнение х2 + у2 — 25 задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке О (О; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина \г — 7\ + jz — 7t| представ-
134
Рис. 2.7
ляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу 2, до точек А (7; О) и В (О; 7), соответствующих числам 7 и 7L Из рис. 2.7 видно, что окружность с центром О и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина |z - 7] + |г - 7*] принимает минимальное значение. Действительно, для точек PhQ значение Jz - 7| + \г - 7f| равно длине отрезка AB9 а для любой точки N окружности, отличной от P и Q9 в силу неравенства треугольника справедливо .соотношение AiV -\ BN > AB.
