Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
кций, решив уравнение ~~o- — А . 7, Имеем дг + 2х +
X +2х+1 *х+«
+ 1 — -4х - 7, откуда х = -2 или х — -4.
Выясним, какой из графиков при -4 < х < -2 лежит вы-
1 -1 X2 + 6х + 8 ше. Разность ~5 - А„ , 7 — —o- > О,
И2ї+1 *х ' (X +2х+1)(4х+7) так как и числитель, и знаменатель дроби при -4 < х < -2 отрицательны.
123
Заметив, что на [-4; -2] обе функции непрерывны, находим искомую площадь:
-2
—4
-(1 + ї ln O-(I + S 1п9)-|-1 іпз.
-2
і і
-4
Ответ: § - i In 3.
2.005. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлет-воряющих условию Im + - J > 1.
^ Положим z — х + ні. Тогда
1 2 1 2 Зх+ Iy /1 2л
^+Z " x+iy+x-ty " (x + iy)(x-Iy)' 1x11 ^z + =J "
2-2 X +у
Неравенство —? ^ * ПРИ я2 + J/2 * 0 равносильно
X +у
неравенству х2 + у2 - у < 0, или х2 + ^y- |J < і - Последнее
неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5, включая границу крута. Вследствие ограничения х2 + у2 * 0 точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 2.1).
Ответ: круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5, исключая точку (0; 0).
H->
1 X
124
Рис. 2.1
в
2.006. Докажите, что график функции у — loge(6x - х*) - J лежит в нижней полуплоскости.
^ Область определения данной функции задается условиями X Ф 0 и 6х - х2 > 0, т. е. представляет собой интервал (0; 6). Докажем, что на этом множестве функция принимает только отрицательные значения.
Перепишем выражение logg(6x- X2) в виде log9(9- (3- х)2). Так как (3 - х)2 > 0, а у — loggt — возрастающая при t > 0 функция, то 1Og9(O- (3-х)2) < log99 - 1. В то же время при 0 < х < 6
6
выполняется неравенство ~ > 1. Вычитая из величины, мень-
шей либо равной 1, величину, большую 1, получим отрицательную разность. Тем самым исходное утверждение доказано.
Замечание. Может показаться перспективным другой способ: исследовать заданную функцию на наибольшее значение с помощью производной и показать, что это наибольшее значение отрицательно. В принципе такой способ возможен, однако его техническая реализация весьма непроста, выкладки, необходимые для оценки наибольшего значения функции, очень громоздки и, по мнению авторов, не представляют большого интереса.
Вариант 3
2.013. Найдите экстремумы функции у — ln(4 - х) + х.
^ Функция у - 1п(4 - х) + X определена и дифференциру-
-1 х-3 ,
ема при X < 4. Ее производная у - 4^Tx + 1 ™ х-4 ; у "
при X — 3. Единственной критической точкой функции является точка 3. Если х < 3, то у' > 0, и функция возрастает; если же 3 < X < 4, то у' < 0, и функция убывает. Значит, точка 3 является точкой максимума функции у я ln(4 - х) + х, а сам максимум равен ln(4 —3) + 3-3.
Ответ: у — 3 — максимум функции.
1
2.014. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой у =¦ —х , касательной к этой кривой, проведенной в ее точке с абсциссой X — 1г и прямой X — 2.
¦ф Запишем уравнение касательной к гиперболе в ее точке с абсциссой >. Поскольку у(1) - -1, у'{х) - -5» а у'(1) - 1, урав-
X
нение касательной имеет вид у — х - 2.
1
При 1 < X < 2 справедливо неравенство х-2 >-~, поэто-
125
му площадь заданной фигуры вычисляется так:
J(x-2 + -)dx -^-2х + 1иЫ] -(2-0,5)-(4-2) +
+ (In 2-O)-In 2- 0,5.
Ответ: In 2- 0.5.
X + З 1
2.015. Решите уравнение 1 + loge^py - ? log^_ (х - I)2.
^ Выполним равносильные преобразования левой и правой частей уравнения:
х+3 х+3
jlogjg (X - I)2 - 11Og6(X - I)4 - loge|x - Il
Из равенства логарифмов вытекает равенство логариф-
_ х-т 3
мируемых выражений: 6Х + ^ — |х— 1|. Однако следует учесть,
что логарифмируемые выражения должны быть положительными, поэтому для сохранения равносильности при переходе к уравнению, не содержащему логарифмов, необходимо добавить новое условие, например \t - l| > О, что эквивалентно х * 1.
х + 3
При решении уравнения 6^+ ^ ™ [х — 1| рассмотрим два случая.
« , ' х+3
Если X > 1, то уравнение примет вид Ox+^ — х- 1, или
6х + 18 — (х + 7Xx — 1). Корнями полученного уравнения являются числа 5 и —5, причем —5 не удовлетворяет условию х > 1 и, значит, не является решением исходного логарифмического уравнения
« х + 3
Бели X < 1, то уравнение примет вид 6Х+ ^ —1-х, или
6х + 18 — (х + 7X1 - х). Последнее уравнение имеет два корня: -1 и -11, каждый из которых меньше 1, а потому является корнем исходного уравнения.
Ответ:—11;—1; 5.
2.016. Найдите область определения функции
у — -/-sin X(сое X + 0,5 ).
^ Область определения данной функции найдем, решив неравенство -sin x(cos х + 0,5) > О, или ein х(соа х + 0,5) < О. Воспользуемся методом интервалов. Так как периоды каждой из функций ain X и cos X равны 2л, то достаточно решить рассматриваемое неравенство на промежутке (0; 2тс] и затем воспользоваться периодичностью тригонометрических функций.
126
Ряс. 2.2
Отметим на тригонометрической окружности нули выражения sin х (cos X + 0,5). Выражение в'тх обращается в нуль при х — к и при X — 2л; cos ас — -0,5 при х — 2л/3 и при ас — 4я/3. На рис. 2.2 этим значениям х соответствуют точки Б, А, С и D.
