Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
При л — 2 получаем два значения хг xt —2 JU принадлежит отрезку [-3; 21, X2 — 2 J2 — не принадлежит этому отрезку.
При п > 3 решения уравнения х2 — 4л не принадлежат отрезку [-3; 2].
При всех остальных значениях х из числового промежутка [-3; 2] выражение не обращается в нуль.
Ответ: (-3; -2j2 ) и (-2^2;--Уб) и (-JS; -2) и
и (-2; -72) и (-72; 0)и (О; ^) и (Л; 2).
1.233. Фигура ограничена линиями у — ^ г* и у ¦ і. Отрезок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и принадлежащий прямой х — а, делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.
^ Найдем значение а, при котором отрезок прямой х — а, заключенный внутри фигуры, имеет наибольшую длину. Поскольку для абсцисс точек этой фигуры выполняется условие
1 2 1 9
X > J X", длина отрезка задается формулой а - ^ о - Рассмотрим квадратичную функцию /(х) — х — Jx2. Ее наибольшее значение достигается в вершине соответствующей параболы, т. е. при X — 2 • (-1/4) ^1"*1*» 11P11 ° ~ 2 отрезок имеет наибольшую длину.
Точки пересечения прямой у — X и параболы у — j х2 имеют абсциссы О и 4, что устанавливается из уравнения х —
- ^x2, или х^1-^xJ- О.
Площади частей, на которые делит фигуру заданный отрезок, вычисляются следующим образом:
2 4
»1- J(*-?*2) S2-J(X-^x2) dx.
О 2
Докажем, что S1 — S2- Действительно, S1-S2-
2 4г 232234
- J(*-4*2)dx -1(*-?*2)d* - (т-п)-(т-п), -°-
0 2 UZ
Таким образом, S1 — S2, что и требовалось доказать.
103
/¦ + - - +
Рис. 1.34
1.234. При каких значениях а уравнение х + ~ — а не имеет корней?
¦Ф I способ. Прежде всего заметим, что х — 0 не является корнем уравнения. Умножив обе части уравнения на х, получим
квадратное уравнение х2 — ах + 4 — О, которое не имеет корней,
если его дискриминант D — а2 - 16 отрицателен. Таким образом,
задача сводится к решению неравенства с2 - 16 < О, которое выполняется при -4 < с < 4.
Ответ: при -4 < а < 4. 4
П способ. Исследуем функцию у — X + ~ . Найдем ее производную у' — 1 — ~2 и определим знаки производной в
X
промежутках знакопостоянства (рис. 1.34). В точке х — -2 функция достигает максимального значения, а в точке х — 2 — минимального, у(—2) — -4, у(2) — 4. В то же время ясно, что если X -> -°о, то у -> а если X —» -Н», то у —» +«>. Значит, множество значений функции представляет собой объединение промежутков: (-«>; -4] и [4; +*»).
1
Итак, уравнение х + ^ — а не имеет решений при всех а є (-4; 4).
Замечание, В данном случае П способ более громоздкий и требует тонких пояснений, по которым можно было бы судить, что учащийся хорошо представляет себе расположение графика функции. Однако за приведенное решение (даже при отсутствии более подробных пояснений) оценка не может быть снижена. По существу, второе решение богаче, так как в нем предложен общий метод ответа на аналогичные вопросы.
I
Часть 2
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КЛАССОВ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ
2.001. Решите уравнение 4cos Sx + 3cos х — 0.
2.002. Составьте уравнение касательной к трафику функции у — е2х~ 1C-2Х2 + бх-3) в точке ее максимума.
2х + 1 , „
2.003. Решите уравнение (3- ^)IOg1784x + 7 - \2Х- 3|.
2.004. Вычислите 'площадь фигуры, ограниченной линиями
1 -1
X + 2х + 1 *х 4
2.005. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию Im^- + - J > 1.
2.006. Докажите, что график функции у — loge(6x — х2) - ~ лежит в нижней полуплоскости.
Вариант 2
2.007. Решите уравнение 5sin Sx- ?sia х — 0.
2.008. Составьте уравнение касательной к графику функциі " у — е1" Зх(3х2 + Зх + 1) в точке ее минимума.
Зх +12
2.009. Решите уравнение 4 - 3х — \SX - 4llog1/2 2х + 5 '
2.010. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиям*/
1 1
У- 2 0 х1 3x^5-
г -2х+1
106
2.011. Изобразите множество точек комплексной плоскости,
(I *\
удовлетворяющих условию ImI ~ - = J > 1.
2.012. Докажите, что график функции у — - - logie(8x - Xа) лежит в верхней полуплоскости.
Вариант 3
2.013. Найдите экстремумы функции у — ln(4 - х) + х.
2.014. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой у — — — 1/х, касательной к этой кривой, проведенной в точке с абсциссой X — I9 и прямой X = 2.
х + 3 1 „
2.015. Решите уравнение 1 + Iog6^jT7 e 4 kgjgC*- *
2.016. Найдите область определения функции
у — J-SiXi х(со8 X + 0,5 ).
2.017. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам J2 < |(1 - i)z - i\ < 2 J2.
2.018. Найдите все действительные решения системы уравнений
X3 - уг - 26, х2у - ху2 - 6.
Вариант 4
1-х 9
2.019. Найдите экстремумы функции у — In^ + - .
2.020. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — 2-х * касательнои к этой кривой» проведенной в точке с абсциссой х — 1, и прямой х =- —1.
2 1 *+б
2.021. Решите уравнение 1 - log9(x + 1)* — g хТз
2.022. Найдите область определения функции
1
У "
Vcos X(0,6 л/3 - sin х)
107
2.023. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам 2 < \2iz + 1 - i\ < 6.
2.024. Найдите все действительные решения системы уравнений
