Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
g
Sabc- J(x2 + 4x + 4)dx - J(X+ 2)3 dx - <-*^-
_2 -2
Искомая площадь - 5ддвс ™0 - 6,75 — 2,25.
Ответ: первообразная у ^x2 + 4х + 4;
площадь 2,25.
1.222. Решите уравнение J\2x + 1| — 1 - 2|х| ,
^ Функция у ¦¦ 2х + 1 меняет знак в точке х — -0,5.
1) Рассмотрим случай, когда х < -0,5. Тогда 2х + 1 < 0 и |2х+1| — -1 -2х. Если X < -0,5, то х < 0 и |х| — -х. Следовательно, 1 — 2|х| — 1 + 2х. При данных значениях х выражение 1 + 2х принимает неположительные значения, в то время как
выражение J\2x +1| при любых х равно неотрицательному числу. Итак, при х <-0,5 равенство левой и правой частей исходного уравнения возможно только при 1 + 2х — 0, т. е. при X--0,5.
2) Рассмотрим случай, когда-0,5 < х < 0. Тогда |2х +1] -
— 2х + 1, а |х| — -х. Исходное уравнение примет вид J2x +1 —
— 1 + 2х. Введем обозначение: J2x+1 — і. Тогда исходное
100
уравнение можно переписать как t — t . Отсюда — О, t2 — 1.
Если t — О, то X — -0,5; если * — 1, то х — О. Ни один из полученных корней не удовлетворяет условию -0,5 < X < 0.
3) Пусть X > О. Тогда исходное уравнение примет вид
-/2х + 1 - 1 - 2х. При X > О имеем «/2* +1 > ./2•0+I - 1, а
1-2х< 1-2-0 — 1. Равенство *j2x+ 1 - 1 - 2х возможно
только при одновременном выполнении условий -/2х + 1 — 1 и 1 - 2х — 1, т- е- при Jt — 0.
Ответ: {-0,5; 0}.
Вариант 39
2х*-5х-3
1.229. Решите уравнение -~- — 0.
8х-27
¦Ф Дробь принимает нулевое значение, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Приравняв нулю числитель данной дроби, получим
квадратное уравнение 2г2 — бх — 3 0, которое имеет два корня: Jt1 — 3, X2 — -0,6. Значит, корнями исходного уравне
ния могут быть только числа 3 и -0,5. Проверим, не обращают ли эти числа в нуль знаменатель дроби. При х — 3 знаменатель
3* — 27 равен З3 - 27 — 0. Поэтому число 3 не является корнек
исходного уравнения. При х — -0,6 имеем З-0,6 Ф 27, т.е. знаменатель не равен нулю. Значит, число -0,5— корень исходного уравнения.
Ответ: X =--0,5.
Замечание. Обратим внимание на то, что нет необходимости ре шать уравнение, которое получается, когда приравнивается нулю знаменатель алгебраической дроби. Это не нужно, так как служит толькс корректировке результата, а кроме того, нерационально, да и не всегда возможно. Гораздо лучше непосредственной подстановкой в зваые-натель проверить корни числителя.
log05 (X*-8)
1.230. Решите неравенство -|^~д- < 0.
¦Ф Знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, положителен, поэтому исходное неравенство равносильно такому: 1Og06(X2- 3) < 0. Его можно переписать в виде 1Og06(X2- 3) * < log0 б1. Логарифмическая функция с основанием, меньших
1, является монотонно убывающей, следовательно, от послед* него неравенства можно перейти к равносильному неравенств}
X2 — 3 > 1. При тех значениях х, которые удовлетворяют последнему неравенству, справедливо и неравенство х2 — 3 > 0, которое задает область определения функции 1Og06(X2- 3).
Таким образом, решение сводится к решению неравенства
Xа - 3 > 1, или X2 - 4 > 0. В результате получим х < -2 или х > 2.
Ответ: (-«*>;-2] U [2; -Н»).
101
1.231. Составьте уравнение касательной к графику функции у — х* -— Зх — 4 в точке с абсциссой X0-I- Напишите уравнение одной
из прямых, параллельных этой касательной.
¦Ф Уравнение касательной в точке графика функции с абсциссой X0 имеет вид у - у (X0) - у'(*оХ* - х0). Здесь у'- 2х - 3, У(хо) "в» !/'(*о)" ~1- Подставив эти значения в уравнение касательной, получим у - (-6) — -{х — 1), т. е. у — —х - 5.
Параллельные прямые имеют один и тот же угловой коэффициент, в данном случае он равен —1. Тогда в качестве прямой, параллельной касательной, можно взять, например, прямую у = ~х + 1.
Ответ: касательная у ж—х — 5; прямая, ей параллельная, у ~-х + 1.
1.232 Найдите все значения х, при которых выражение д/б -х-х2 • tg^х2^ имеет смысл н не обращается в нуль.
¦t Выражение имеет смысл при одновременном существовании обоих множителей, что обеспечивается следующими условиями:
6-х-*2 > О,
Гх2 + х-6 < О, 1х2*2 + 4А, А
К 2 Я или
^x *2 + 7tft» AeZ, lx%2 + 4A, AeZ.
Решив первое неравенство, найдем, что оно справедливо при всех X є [-3, 2].
Определим все значения х из [-3; 2], для которых найдется такое целое число А, что выполняется равенство х2 — 2 + 4А.
При А < О таких значений х нет.
При A-O получаем X1- ; X2 ^2 . Оба эти значения принадлежат отрезку [-3; 2].
При A-I имеем X1 — -л/б ,X2- л/б. Число - 7б принадлежит промежутку [-3; 2], а число J6 - нет.
При А > 2 выполняется условие х2 > 10, при котором ни одно значение х не принадлежит отрезку [—3; 2].
Таким образом, выражение имеет смысл при х є [-3; 2],
за исключением точек
Выясним, при каких значениях х данное выражение обращается в нуль. Это происходит тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при атом имеет смысл:
л/б-х-х2 - 0 при X --3, X - 2; tg^x2^ — 0, если X2 — 4л, л є Z.
При л < 0 таких значений х нет. При л «= 0 имеем х — 0-
102
При л — 1 получаем два значения х: X1 2, х% — -2- Оба эти числа принадлежат отрезку [-3; 2].
