Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 26

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 56 >> Следующая

4 Заж. Н234
97
ч—
JC
Рис. 1.31 Рис. 1.32
корнями уравнения / (х) — О, т. е. уравнения -sin х + ~^ ~ О-
JU ^ „я
Отсюда заключаем, что sin х — ~^ их - (—1)д + тел, где п є Z.
Рассмотрим какой-либо промежуток, в котором находится единственная критическая точка. Например, в промежутке [л/2; к] лежит одна критическая точка — это 2я/3. В ней знак произ-
_/w\ JZ
водной меняется с минуса на плюс, так как f I ^ J ™-1+ у <0н
JS 2п
/'(it) — О + ~2* > О- Значит, х — — точка минимума.
Ответ: критические точки (-1) g + тел, тс є Z;
2тс
— — точка минимума.
1.221. Найдите ту первообразную функции / (х) — 2х + 4, график которой касается прямой у — 6х + 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у-6х + Зиу-0.
^ Первообразные функции f(x) определяются так:
J/(x) dx - J(2x + 4) dx - X2 + 4x + С.
Поскольку прямая у — 6х + 3 является касательной к
параболе у — х2 + 4х + С, уравнение х2 + 4х + С — бх + 3 должно иметь единственный корень. Приведем это уравнение к
стандартному виду: х2—2хН-С—3 — О. Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант D равен нулю. В данном случае 1)-16- 4С. Очевидно, что D — О, если
С ~ 4. Таким образом, искомая первообразная имеет вид у — х2 + + 4х + 4.
Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у
— X2 •f 4х * 4, р — 6х + 3, у — О. Площадь заданной фигуры удобнее всего вычислять как разность площадей криволинейной трапеции ABE и треугольника DBE (рис. 1.33). Найдем координаты точек BhD. В точке В парабола у — х2 + 4х + 4 касается
прямой у - 6х + 3, т, е. X2 + 4х + 4 - 6х + 3. Отсюда х - 1; тогда Jr — 9. Значит, точка В имеет координаты (1; 9). Первую

Рис. 1.30
*
подсчет или прикидка по знаку дают следующие результаты: /(0) > 0, /(4) < 0, /16) < О.
1.218. Найдите значение производной функции у — е2 + х + —^
X
в
X — 1 ТОЧКе Xq=* —2.
О Вычислим производную данной функции:
^ -Iу (*2-1)
,с2 + * + **-1-2»2 _€2 + х I + *2
2 2 ~ с 2 2-
(X--1) (« -1)
Подставив значение х ж-2 в выражение для у\ находим у' (-2) - 4/9.
Ответ: 4/9.
1.219. Решите неравенство log0,s(x2 ~ 1) > —2-
Область определения функции Уі — log0 5(х2 - 1) задается
условием X2 - 1 > 0. Графиком функции у — х2 - 1 является парабола с ветвями, направленными вверх (рис. 1.31). Она пересекает ось абсцисс в точках-1 и 1. Значит, функция у —
— X2 - 1 принимает положительные значения при х < -1 или при X > 1.
Функция у — 1о&о.5* убывает в области определения, поэтому для всех значений х из области определения j/i справедливо неравенство х2 - 1 < 0,б~2, или х2 < б. Отсюда —Jb < < X < Л. На рис. 1.32 штриховкой изображено пересечение
отрезка [-Jb; Jb} с промежутками (-<*>; -1) и (1; +»)» за-, дающими область определения функции у\. Это пересечение
состоит из двух промежутков [-Jb; -1) и (1; V§1-
Ответ: -l)u(l; VS].
Js
1.220. Найдите критические точки функция fix) — cos х + "^-х. Укажите одну из точек минимума.
¦в> Заданная функция дифференцируема на множестве всех действительных чисел, поэтому ее критические точки являются 98
4->
JC
-J5 -1 і JS
Рис. 1.31 Рис. 1.32
Js
корнями уравнения / (х) — О» т. е. уравнения -sin х + ~? "О.
JS „я
Отсюда заключаем, что sin a - у их - (—l)g + ял, где пе Z.
Рассмотрим какой-либо промежуток, в котором находится единственная критическая точка. Например, в промежутке [л/2; л] лежит одна критическая точка — это 2л/3. В ней знак произ-
rn\ JS
водной меняется с минуса на плюс, так как / ^JjJ ~1+ у <0н
JS 2л
f (л) — О + ~~2 > О- Значит, х — — точка минимума.
Ответ: критические точки (-1)11? + ял, я є Z\

— — точка минимума.
1.221. Найдите ту первообразную функции / (х) — 2х + 4, график которой касается прямой у — 6х + 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у-6х+Зиу-0.
^ Первообразные функции f(x) определяются так:
//(лг) dx - J(2x + 4) dx - rc2 + 4х + С.
Поскольку прямая у — 6х + 3 является касательной к
параболе у — х2 + 4х + С, уравнение х2 + 4х + С — 6х + 3 должно иметь единственный корень. Приведем это уравнение к
стандартному виду: х2— 2х + С - 3 — О. Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант D равен нулю. В данном случае D «- 16 — 4С. Очевидно, что D-O, если
С — 4. Таким образом, искомая первообразная имеет вид у — х2 + + 4х + 4-
Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у —
— X2 + 4х т- 4, у — 6х + 3, у — 0. Площадь заданной фигуры удобнее всего вычислять как разность площадей криволинейной трапеции ABE н треугольника DBE (рис. 1.33). Найдем координаты точек В н D. В точке В парабола у — х2 + 4х + 4 касается
прямой у — 6х + 3, т. е. х2 + 4х + 4 - 6х + 3. Отсюда х — 1; тогда у — 9. Значит, точка В имеет координаты (1; 9). Первую

Рис. 1.33
координату точки D найдем из условия, что прямая BD пересекает ось абсцисс в точке О, т. е. бх + 3 — О и х *¦ -0,5; тогда у — 0 и D (-0,5; 0). Следовательно,
S&dbc - 095-BE-DE - 0,5-9-1,5 - 6,75;
- 9.
-2
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed