Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: функция убывает в промежутках (-«»; -1] и [1; +«•).
81
1.159. Решите систему уравнений
8-2*-4
ЦБх + 0,6
5 "25"5 ¦
В каждом уравнении системы представим левые и правые части уравнений как степени с одинаковыми основаниями и далее используем свойство монотонности показательной функция:
{
'* = 4,
У = Ю. Ответ: (4; 10).
1.160. Решите уравнение (sin 2х)- Ja-х — 0.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом определен:
sin 2ас = 0,
2 или 4 - X2 - 0.
4-х > О
¦
Имеем: 4 - ж2 — О при х — ±2;
rcft
sin 2ас - О при X - ~2 , ft є Z;
4- х2>0,*2-4<0, х2<4, |х|<2,-2<х<2.
rcft
Среди чисел вида ~^ выберем такие, которые принадлежат отрезку [-2; 2].
2я
то ас
Если ft - О, то je - О; если ft - 1, то х - | ^ < 2j; если ft > 1,
2я я / я \
> Y "а > 2; если k то ас Hp-2 U если ft <-1,
2л
то х<-~2 —-я< 2.
2
Неравенству 4 - ас2 > О удовлетворяют числа вида я&/2 при ft — -1, О, 1.
Ответ: (2;-2; я/2;-я/2; О}. 1.161. В каком отношения делится площадь четырехугольника ABCD9
где А Ы; О), Ж-2; 4), С(2; 4), ЩА; О), параболой у - | х2 + 2?
¦+ Изобразив четырехугольник и параболу на координатной плоскости, убедимся, чтоЛВСІ) — трапеция, а парабола проходит через ее вершины ? и С (рис. 1.18). Для вычисления искомого отношения найдем площадь S трапеции ABCD9 площадь
82
>4
9
А 1 О D
Рис. 1Л8
ее заштрихованной части S1 и затем площадь незаштрихован-ной части трапеции S2 ° S - S1. Имеем
S- |(AZ> + ?C)A- | (8 + 4)-4-24.
1-2
Так как g * + 2 < 4 при-2 < Jt < 2, то - J(4-(|»' + 2)) ,
dje
-2 -2 О
(использовали правило интегрирования четной функции)» откуда
1(2-%^-ыУ!-<-!-з|= -
С о о? •c1 о о, г1 .с2 S! 16 66 2
S1 - 2-23 =63; S2-24-63 -I8a;^ -? : -3 - ^
¦
Ответ: 2:7 (или 3,6; возможен ответ: 7:2).
1.162. На графике функции у — |Зх-2] найдите точку, ближайшую к точке А(3;'0).
Запишем данную функцию следующим образом:
У =
Зас-2 при X > 2/3, 2-Зас при* < 2/3
и изобразим ее график на координатной плоскости (рис. 1.19).
I с п о с о б. Пусть В(ас0; |3*0 - 2| ) - ближайшая к А точка графика. Тогда
83
AB2 - (*0- З)2 + (|3*0-2| - О)2;
AB2 - Jt§ - 6x0 + 9 + 9x1 - 12л:0 + 4 - 10*o " 18*0 + 13-
Расстояние AB минимально при том же значении Jt0, при котором минимально значение AB2.
Исследуем квадратный трехчлен lOjt2 - 18jt + 13. Его на-
18
именыпее значение достигается при Jt — 2 • Ю ^»®" Таким
образом» AB2 принимает минимальное значение при Jt0 — 0,9; тогда В (0,9; |3 • 0,9 - 2| ), т. е. В(0,9; 0,7).
Ответ: ближайшая точка В (0,9; 0,7).
II способ (геометрический). Искомая точка В является основанием перпендикуляра, проведенного из точки А к пря-
2 1
мой MF; AM ™8-g — 2 ^ ; tg Z. BMA — 3 (угловой коэффициент прямой).
Из AMBA и AAfBB1 (рис 1.20) имеем МБ - AAf cos а;
7 9 7 1 7 7 2
AfB1-MBcOSa- §сов2а- 3 ' j+ ^2а " 8O'OBi " §5 + 3 -
- 0,9.
Абсцисса точки В равна 0,9, а ее ордината равна |3 • 0,9 -2| —
-0,7.
Итак, (0,9; 0,7) — координаты искомой точки.
Ш способ. Уравнение прямой, проведенной через точку
А перпендикулярно прямой у — 3jt - 2, имеет вид у — -g Jt + 1.
Найдем точку пересечения этих прямых:
84
в
Рис. 1.20
У = Зас-2, 1
У =~з*+1
[X = 0,9, **{У- 0,7.
Вариант 29
1.169. Вычислите (3 log72 - log724) : (log73 -t-Iog79).
¦fr Чтобы найти числовое значение данного выражения, проведем ряд преобразований, связанных со свойствами логарифмов:
(3 Iog72 - Iog724) : (log73 + log79) ~
-log73 ! - (Iog78- Iog724) : Iog727 = 8-log 8 - .
Ответ: -1/3.
1.170. Решите уравнение JBx+ 1 — х - 1.
¦fr I с п о с о б. Возведя обе части уравнения в квадрат и учитывая при этом, что X — 1 > 0, получим
> 0 I
х" ~Ьх = 0,
X >1
с
X = 0,
* = б. <=> ас - 5. ас > 1
П способ. Сделаем замену J3x + 1 — и. Тогда и > 0 и
«2-i
«2-i
X — з " Исходное уравнение примет вид и — —д— - 1? или и - Зы - 4 - 0, откуда u1 — -1, U2 - 4. Значение m1 не удовлет-
42-1
воряет условию и > 0; при и — 4 получим ас = —o— - б.
Ответ: б.
85
1Л71. Решите неравенство 4х — 3 ¦ 2х - 4 < О.
I способ. Обозначим 2х через t (t > О); тогда данное неравенство примет вид t2 - 3t - 4 < О. Решив его, находим -1 <
< * < 4. Так как г > О, то О < г < 4, или О < 2х < 4. Для любых
значений X смеем 2х > О; остается решить неравенство 2х < 4, откуда X < 2.
II способ. Преобразуем заданное неравенство так:
4х-3-2х-4<0;4х-4-2х + 2х-4<0;
2Х(2Х- 4) + (2х- 4) < О; (2х- 4) (2х + 1) < О.
Так как 2х + 1 > О при всех значениях ас,то2х-4<0, 2Х<
< 22, ас < 2.
ч - Ответ: (-оо; 2).
1.172. При каком значении а прямая у — Зх + а является касательной к графику функции у — 2х2 - 5х + 1?
Так как прямая у =3ас + а является касательной к графику
функции у то в точке касания угловой коэффици-
ент касательной равен 3. Но угловой коэффициент касательной равен производной функции в этой точке, т. е. у' — 4ас- 5 — 3. откуда X = 2. Следовательно, х — 2 — абсцисса точки касания. Найдем теперь а из условия равенства значений функций
