Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
У =" 4' — монотонно возрастающая функция, то можно перейти
Зх+ 2
к равносильному неравенству: 1 - х < -—g— > 2 - 2х < -Зх - 2; х<-4.
Ответ: (-«о: —4].
1.123. Найдите произведение корней уравнения (Зх2 - 4х - 7) х
X logg (2 - X) - 0.
72
¦ф. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом определен. Заменим данное уравнение равносильной ему совокупностью:
2-х>0, <=*
L log3(2-x) = О
Г* = -і»
_ 7 х " 3*
х<2, 2-х = 1
rX = -1, [х = 1.
Ответ: X1X2 —-1-
1.124. Является ли прямая у — 1 - х касательной к графику функции у — * + е~2х? Ответ обоснуйте.
Для того чтобы прямая у — ах + Ь являлась касательной к графику функции у — f (х), необходимо и достаточно существование такой точки графика функции у — f (х) с абсциссой XQf чтобы выполнялись следующие требования:
{
ах0+ Ь = /(X0), а = Г (*0) •
В данном случае
1-Xn = Xn+ е
-2х«
-1 = 1-2е
-2хя
-2х,
1-2X0 = €
<Г2х° = 1
<=» X0 — О.
Поскольку такая точка существует, данная прямая является касательной к графику данной функции.
Ответ: да, является.
1.125. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — хЯ*1
— J tdt и прямой у — 1,5.
Вычислим интеграл:
хя+1
.х* + 1
J *Л-0,5«2 , -0,5((х2+ I)2-X4)- X2 + 0,5.
Таким образом, задача сводится к нахождению площади фигуры, ограниченной параболой у — х2 + 0,5 и прямой у — — 1,5. Найдем пределы интегрирования: х2 + 0,5 — 1,5, откуда
73
х1.2 ™ ±1в Следовательно, площадь фигуры равна значению ин-1
теграла J(I,б - х2 — 0,5) dx* Окончательно получим
з
J(I -x*)dx - 2 J(I - X2) dx - 2(х-%)
-і
ХЧ 4
Ответ: 4/3.
1.126. Решите систему уравнений
{2j3y + x-j6y-x - X9 J8y + x+j6y-x - Зу.
^ I способ (способ алгебраического сложения). Складывая уравнения, получим 3 JZy + х — Зу + х. Вычитая из удвоенного второго уравнения первое, получим ZjQy-X — 6у- х. Имеем
(Zj3y + x = 3y + xf iJZy + xiZ- JZy + x) = 0, { ЗТбїРх = бу-х ^ \ J6y-x(3-j6y-x) = 0
(з
Ґв
у+ X
Зу + х
У** бу-х
О,
9; о,
9.
Данная система сводится к четырем системам линейных уравнений:
зу
6у-
+ х = 0, fac = 0, (Зу+х = О, (X = -3,
-* = 0 °|у = 0; |бу-* = 9
+ x = Q, fx = 6, J3y + * = 9, Ja: = З,
'-ж = 0 - 1; }6y-x = 9 °(у = 2.
Ответ: (О; О); (-3; 1); (6; 1); (3; 2).
74
П с п о с о б (замена переменных). Пусть
и = Sy+ X9 и > O9 2 с
V > О.
2 2 U +и
{
и = JGy-X
Следовательно, х мет вид
«2 2
2z* -V
¦g— , и система при-
2u-i> =
и > О, V > О,
«
U+ и =
о 2 2
2u -и
2 2
ҐЄи-Зи = 2и -и ,
1 2 2
I 3u + 3u = u +и
2^ 2 U +V
2 2
6u-3u = 2u -и ,
J6U-J
І9м =
[ [
и = O9
2
Sv = и , u = 3,
18-Зи = 18-и3
и — о,
V — о,
и = о.
V з,
и — з,
V — о.
и з.
= з.
откуда получим
(X = О, [У = О,
fx = -3, [У = 1.
fx - 6, [У = 1.
Jar = 3, [У -2.
Вариант 23
1.133. Решите неравенство 1Og1 /7 (2х- 1) >-1.
вф Перепишем неравенство в виде Iogli*7(2x - 1) > 1Og1^. Учитывая область определения логарифмической функции и
75
монотонное убывание функции у — 1Og1^7* на всей области определения, перейдем к равносильной системе:
¦
23С-1 < 7, 2jc-1>0
Г*<4, х>0,5.
Ответ: (0,6; 4).
1.134. Вычислите ординату точки пересечения графиков функций
JZ-O^-3Hy= (з|)\
Сначала найдем абсциссу точки пересечение 'графиков данных функций:
0,3 -[3§J - (3-) ~3-2*-*..
Таким образом, абсцисса точки пересечения jc0-I. Op-
дината точки пересечения у0 =- І Зд I , т. е. у0 -= Зд .
Ответ: 10/3.
1.135. Найдите критические точки функции у = sin Ъх cos Зх - cos 5х х xsin Зх.
¦Ф Согласно формуле синуса разности двух аргументов получим sin Ъх cos Зх - cos 5х sin Зх — sin 2х. Функция у =- sin 2х дифференцируема на R. Имеем у' « 2 cos 2хш Чтобы найти критические точки функции, решим уравнение у' — 0, или 2 cos 2х -= О, отії я
куда jc-| + ? л, neZ.
Л Я Я
Ответ: jc = ^ +gn.neZ.
1.136. При каких значениях а число 2 является корнем уравнения Jx-а =- За - х?
¦Ф Так как jc » 2 является корнем данного уравнения, то необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие J2~a — — За - 2. Будем рассматривать это равенство как уравнение относительно а. Перейдем к равносильной системе
т
2-а = (За-2)2, За-2 > О.
Решив уравнение 2 - а = 9а2 - 12а + 4, или 9а2 - 11а + 2-0, найдем O1 — 1, а2 =- 2/9.
76
При O1-I имее» 3-1 — 2 > 0, т. е. это значение а удовлетворяет системе; IPjH а2 в 2/9 имеем 3*2/9 - 2 < О — это значение а не удовлетворяет системе, а значит, не является корнем уравнения.
Ответ: при а в1.
1.137. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — 2
— и прямыми у ¦= 0, X — —5, X •= —2,5. Не пользуясь микрокалькулятором, сравните полученное значение площади с числим 2.
¦fr Данная фигура — криволинейная трапеция, ограничен-
2
ная графиком функции у — —~, отрезком [-5; -2,5] оси Ox и
2
прямыми Jt «=-5 и jc -¦—2,5 (рис. 1.14). Так как у =*-- > О при
X є [-5; -2,5], то.площадь криволинейной трапеции S находится следующим образом:
-2.5
S- J d* - 2In M
-2.5 -6
-б
- -2(In 2,5 - In 5) - - 21л 0,5 - In 4.
