Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: D (у) - (-°°;-2) и {0} и (2;+«). П способ. При jc — 0 функция определена. При jc * 0 числитель дроби, стоящей под знаком корня, положителен, и
корень определен при jc2 — 4 > 0. Этому квадратному неравен-' ству удовлетворяют все значения нз промежутков (-<»; -2) н (2;
61
Рис. 1-8
4~). Учитывая значение х - О. получаем приведенный выше ответ.
1 088. Найдите координаты точек касания, в которых касательные к рафику функции у - имеет угловой коэффициент, рав-
ный 4.
_ Л7 . «пяЛЛипиент касательной к графику функции в ^чке^афГаТЙ^ой t равен значених, производной фун-
кции в точке г.
Функцию у - ^+T ™репишем в виде у - 2-Находим j-J-i • Тогда 4. если - 4. т.е. (х +
уДовл^воряЮЩие условию задачи: (0; ^ ^ в ^ ?)
,089. шд- —яьззаа Ат-т
^ Каждая первообразная функции f (х) может быть записа--"* К ДТ Z + c где С — константа. Используя условие на в виде - 2х + С, где с " F (0) - С; С - 1; F (х) -F (0) - 1. для функции F (X) имеем. *
- *2-2*+1, или F (X)-(X-D ¦
Найдем абсциссы общих точек F (X)- (х- I)2 - 2(х- 1); X1 - 1; X2 - 3. При 1 < X < 3 разность t J-FIx) - 2(х - 1) - (* - D2 - (* - 1X» - *> положительна, поэто^коваю площадь можно вычислить так:
3 8 8 2
J(2(*-l)-(*-D2) <** - »1(*-« d*-J^-1)2 «* " 1
-(X-I)2I1-1—3-^-4-3-3-
Ответ: 4/3.
62
1.090. Определите промежутки возрастания функции у — |jc*-3jc| .
¦Ф Запишем данную функцию, раскрыв знак модуля. Для этого найдем те значения х, при которых х3 — Bx > 0. Решим это неравенство методом интервалов. Корнями уравнения jc3 - Bx = O1
или X[X2-3)-0, являются числа O9-JB и V§ - Рассмотрим функцию / (х) — Jc(jc- JB ) (jc + л/3 ). Имеем / (3) > 0. Функция / (jc) меняет знак при переходе через каждую из точек -JB9 0 и
Js. Расстановка знаков приведена на рис. 1.9. Таким образом, исходную функцию можно записать в виде
jc3-3jc при jc є [-л/3;0]и[7§;+оо),
- IVJ
Sx при jc є (-оо;-73) u (0-,^/3).
В промежутках своего знакопостоянства функция у дифференцируема, причем
3jc2-3 при jc є (-л/3;0)и(7§;+оо), 3jc2 + 3 при XG (-°o-JS)u(0;JS).
Функция непрерывна при любом действительном jc, однако вопрос о ее дифференцируемости в точках 0 и ±л/3 мы обсуждать не будем, поскольку на дальнейшем исследовании это никак не отразится.
Нулями производной функции у являются числа-1 и 1. Составим таблицу монотонности функции, для чего определим знак производной функции в каждом из шести интервалов: У'(-З) < 0; у (-1,6) > 0; у'(-09Ь) < 0; у'(0,б) > 0; у'{19Ь) < 0; у'(B) > 0. Тогда получим
jc (—>;-JS) (-JSi-l) (-1; о) (0; 1) (1; S)
У* — + * + —
У M M
<ЛЗ;+~) +
Учитывая непрерывность исходной функции, заключаем, что имеются три промежутка ее возрастания, а именно:
[-JB9-I]9 [0; 1]и[,/3;+~).
Ответ: [-л/3;-1], [0; 1] и [JB;+~).
•J3
о S
Рис. 1.9
63
Вариант 17
1.097. Найдите точки пересечения графиков функций у «¦ х + 1 и у - Jl-X.
¦+ Задача сводится к решению уравнения Jl-x.
Возведем обе его части в квадрат, учитывая при этом условие X + 1 > О (*). Имеем: ж2 + 2х + 1 - 1 - х; х2 + 3jc - О; jc1 — О, Х2 ™ -3. Из найденных значений jc условию (*) удовлетворяет только X ™ О. Координаты единственной общей точки двух графиков таковы: jc — О, у — 1.
Ответ: (О; 1).
1.098. Решите уравнение 2 sin2 ^ + jc^ - 5 сое (л - jc) -+ 2 — 0. Укажите те значения х, при которых sin х > О.
¦+ Используя формулы приведения, перепишем исходное
уравнение в виде 2 cos2* + б cos jc + 2 — 0. Решив его как квадратное относительно cos jc, получим либо cos х — -2, что не выполняется ни при каких jc, либо cos X —-0,6, что имеет мес-
2л
то при jc — ± "g" h 2nk9 k є Z.
Отберем корни уравнения, удовлетворяющие неравенству sin jc > 0, с помощью тригонометрической окружности (на рис 1.10 штриховкой отмечена область, для точек которой
Рис. 1.10
64
sin X > О). Указанному неравенству удовлетворяют "значения х - -? + 2nk, k є Z.
2те
Ответ: ±"g" + 2л?, k є Z; условию sin х > О
2л
УДОВЛеТВОрЯЮТ ~g~ + 27ія, AeZ.
1.099. Решите систему неравенств
Лх + 2
>1ш
l+log3(*-4) < log8(jc+ 21).
¦Ф Преобразуем первое неравенство. Умножив обе части .этого неравенства на положительное выражение 4* + 1, получим 24х + 2 > ах + 1 имеем:
42х + 1 > лх + 1. 2х + 1 > jc + 1; х > О.
¦
Для решения второго неравенства преобразуем его к виду log33(x - 4) < log3(x + 21). Функция у — log3t возрастает на
всей своей области определения, т. е. при t > О. Учитывая это свойство, от логарифмического неравенства перейдем к равносильному ему двойному неравенству О < 3(х - 4) < х + 21. Из его левой части получаем х > 4, из правой Зх - 12 < * + 21; лс < 16,6. Решением исходного логарифмического неравенства является промежуток (4; 16,5]. Все числа из этого промежутка удовлетворяют неравенству х > O1 т. е. являются также решениями первого неравенства данной системы, а значит, решение исходной системы неравенств представляет собой указанный промежуток.
Ответ: (4; 16,6].
*
1.100. Постройте график функции у — 2 на отрезке [-0,5; 3].
Укажите множество значений функции на этом отрезке.
