Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
а
что уравнение ах + Ь — х2 + 3, или ж2 + 2ах + 2о - 6 — О
имеет единственный корень. Условием этого является равенство нулю выражения а2 — 2Ь + 6 — четверти дискриминанта
квадратного уравнения. Если равенство a2 ¦¦20-6 достигается при некотором значении а — а0, то при постоянном Ь оно достигается еще только в одном случае — при а — - O0. Таким образом, ад — -а, и уравнение второй касательной к графику
функции у — -| X2 + 3 имеет вид у = -ах + &. Прямые у — ах + b иу ¦ -ах + о симметричны относительно оси Oy: действительно, они содержат соответственно точки н (д*^)*
метричные относительно оси Oy9 а также пересекаются в точке, принадлежащей этой оси; этого достаточно для симметрии двух прямых. Итак, из симметрии заключаем, что ось ординат делит пополам один из углов, образованных прямыми у — ах + Ъ и у — -ах + о; так как по условию он равен 90", то каждая из прямых образует с осью Oy угол 45". Тогда и с прямой у О каждая из рассматриваемых прямых образует угол 45". Одна из них образует с положительным направлением оси Ox угол 45" и имеет угловой коэффициент 1, а другая образует с положительным направлением оси Ox угол 135° и имеет угловой коэффициент -1.
Уравнения касательных имеют вид у — х + Ь и у~ -х + Ь.
Из вышеупомянутого условия а2 — 2Ь - 6 найдем Ь "= 3,5; ур ів-нения касательных таковы: у — х + 3,5 и у — -х + 3,5.
Заданная фигура ABCM симметрична относительно оси ординат (рис. 1.6). Вычислим ее площадь как удвоенную площадь фигуры BCM (абсцисса точки С равна 1). Имеем
сим-
S - 2^(3,5 -х)-(-|х2 + з)) dx - 2j|(x-O
(x-l) З
8
l)2 dx
Ответ: 1/3.
56
1.066. Какие целые значения принимает функция у — -Ox J2x +1 в промежутке [-0,5; О]?
^ I с п о с о б. Заданная функция непрерывна в промежутке (0,5; О]. Найдя наибольшее и наименьшее значение функции в этом промежутке (рассмотрев при атом и точку -0,5), можно будет ответить на поставленный вопрос. Заданная функция дифференцируема при -0,5 < х < О и
9jc
точке
Производная равна нулю, если J2x + 1 + t — О,
т. е. 2х + 1 + X — О, X — -1/3. Тогда X0 — -1/3 — единственная критическая точка в рассматриваемом промежутке. Так как у'(-6/12) > O1 а у'(0) < О, то X0 — точка максимума.
Наибольшее значение функции у(х) достигается в
-1/3 и равно -9 •^"!^•^2 •^-^+l — 73. Наименьшее
значение функции у (х) в промежутке (-0,5; 0] равно нулю. Действительно, у{0) — О, а для всех х из рассматриваемого промежутка X < О; 42х + 1 > О, следовательно, -9x*j2x + 1 > 0. Поскольку и у{~0Г5) — О, наименьшее значение заданной функции на всем промежутке [-0,5; О] равно нулю.
Таким образом, на рассматриваемом промежутке функция принимает все действительные значения от О до J3 включительно; среди них — два целых: О и 1.
Ответ: О и 1.
Замечание. Некоторым учащимся такое решение наверняка покажется «корявым». Здесь необходимо сделать ряд пояснений.
1. Использовать стандартный алгоритм нахождения наибольшего ¦ наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, здесь нельзя (функция не является непрерывной в точке X — —0,5).
2. Учащиеся, знакомые со свойством односторонней непрерывности в точке (этот материал отсутствует в учебнике), смогут привести задачу к виду, когда использование вышеупомянутого алгоритма допустимо (функция непрерывна на (-0,5; 0] и непрерывна справа в точке -0,5).
3. Можио использовать стандартный алгоритм для функции у —
~ —9xJ\2x + 1|, непрерывной, во нед ифференцируе мо й в точке -0,5 и совпадающей с исходной при -0,5 < х < О.
П способ. По условию, должно выполняться равенство
-9х J2x + 1 — Ti9 где п — целое, аX є [0,5; О]. Пусть JuxTl — t,
откуда X — (t2 - 1)/2. Если -0,6 < х < О, то t может принимать любые значения из промежутка [О; 1]. Задача сводится к определению всех целых значений, которые может принимать фун-
9 9
кция <p(t) — ~2 U - 1) t в промежутке [0; 1].
57
Функция <р(0 непрерывна и дифференцируема во всех точках промежутка [О; 1]; <р(0) - О; <р(1) - О, <р'(*) - -gO*2--1). Единственная критическая точка функции <p(t) на [О; 1] определяется из условия ф'(*) - О, т. е. 3t2- 1 - О, или t - 1/Л (ПС t < I) Так как наибольшее и наименьшее значения на отрезке непрерывная функция может принимать либо на кон-S отрГкаГлибо в своих критических точках, лежащих на
отрезке, то
min<p(t) - ф(0) - <р(1) - О, [0;11
тахф(0 - Ф0§) - "I •(-I} j$ "
Отсюда следует, что ф) в промежутке [0; 1] принимает два целых значения: О и 1. Таким образом, функция у -= -9xj2x+l в промежутке [-€,5; 0] принимает два целых значения: О и 1.
Вариант 13
1.073. Сравните значения выражений
1 + cos 40° + сов 80° cos 105° соа 5° + sinl05« cos 85° •sin 80°+ вів 40° и ein 95° coe5°-coe95e ein 185° •
¦» Преобразуем первое выражение, разложив cos 80е и віл 80* по формуле двойного угла:
1 + сое 40° + cos 80° 1 + cos 40° + 2cos240°-l sin 80° + sin 40u 2sin40° cos 40е + sin 40е cos 40°(l + 2co8 40°) - sin 40°(1 + 2cos 400J CXg W *
Числитель и знаменатель второй дроби преобразуем отдельно, используя формулы приведения и формулу синуса суммы.
