Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Звавич Л.И. -> "Алгебра и начала анализа" -> 12

Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.

Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Смирнова В.К. Алгебра и начала анализа — M,: Дрофа, 1997. — 2008 c.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка): algebra1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 56 >> Следующая

Ответ: 79.
„а
1.028. Укажите все точки на графике функции у — хе 9 в которых касательная параллельна оси абсцисс.
¦+ Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен нулю. Так как угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания, то для определения абсцисс искомых точек необходимо решить уравнение у'— 0. Продифференцируем заданную функцию:
у'- (хе~*У- «Г*2 + xt-2*«-*8) - C^(I - 2Х2).
9 Л
Очевидно, что у'— 0, если 1 - 2х^ — 0Г т. е. если х — •
Определим ординаты каждой из найденных точек. При
Л Л _ш і л
X «= ~2 » находим у *» ~2 е ~JTe * при х ™ ~~2" політчим
72 1 ,/2 1
Ответ:
1.029. Сколько корней имеет уравнение sin2 х + cos2 2х + + cos? ^ + 2х^ + cosxtgjc — Ib промежутке (0; 2л)? Укажите их.
¦Ф По формуле приведения получаем cos ^ + ^xJ ~ ""8^11 ^**
о
Заменим третье слагаемое в левой части на віл 2х и, используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем исходное уравнение к виду sin2 х + cos х tg х — 0. При условии cos ж * 0 выражение cos х tg х равно sin х, и уравнение примет
вид sin2 X + sin X — 0, или sin X (sin X + 1)-0, что выполняется либо когда sin х — 0, либо когда sin х — -1.
В первом случае имеем х — ял, где п є Z; при этом cos х # 0, а среди найденных значений х в промежуток (0; 2л) попадет только X — 7t. Во втором случае те значения неизвестного, при которых sin X — — 1, не являются корнями исходного уравнения, поскольку при этом cos X — 0- Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень на промежутке (0; 2л), н он равен я.
Ответ: один корень: х — я.
46
1.030. Исследуйте функцию / (х) ¦> хэ - Зх с помощью производной я
выясните, при каких значеннях а уравнение х3 - Зх = а имеет одно решение.
^ Функция f (х) определена и дифференцируема при всех
действительных х. Находим /'(*) =• Зх2 - 3 — 3 (х - 1) (х + 1). Критическими точками функции являются точки -1 и 1. В них / (х) принимает значения 2 и —2 соответственно.
Функция / (х) — нечетная, так как f (-х) — (-х)3 - 3(-х) —
— - X3 + Зх — -/ (х). Нулями функции являются числа O9-JB
и J3.
Составим таблицу монотонности функции f (х):
X 1-І) (-1; D {1}
Г(х) + 0 — 0
/(X) я 2 M -2
(1; +ос) + Я
Функция / (х) — многочлен. Учитывая его непрерывность, а также характер поведения многочлена на бесконечности, заключаем, что при х < — 1 функция возрастает, принимая по одному разу каждое свое значение от -«о до 2 включительно; при -1 < X < 1 она убывает, причем принимает по разу все значения из промежутка (-2; 2); наконец, при х > 1 она возрастает от -2 до +«>. Таким образом, ровно один ра і принимаются значения, меньшие—2, а также значения, большие 2.
Последнее означает, что уравнение х3 — Зх — а имеет единственное решение при а < — 2 и при а > 2.
Ответ: при всех а є (-<»; -2) и (2; -И»).
Вариант 7
1.037. Решите уравнение 1 + Iog7 (х + 4) = log7 (х2 + 9х + 20).
¦Ф Преобразуем левую часть уравнения: 1 + logy- (х + 4) —
— log7 7 (х + 4). Тогда уравнение примет вид log7 7 (х + 4) —
- *og7 (х2 т 9х + 20). 1
Из условия равенства логарифмов по одному основанию
следует, что 7 (х + 4) — X2 + 9х + 20 при выполнении неравенства X + 4 > 0. Решив последнее уравнение, находим X^ = —4,
Xi — 2, причем неравенству х + 4 > О удовлетворяет только X2-
Ответ: 2.
1.038* Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2х + (0,5)3-* < 9.
47
¦Ф Решим данное неравенство, переписав его в виде 2* + 2* 8 <
< 9. Далее имеем 2х + |j < 9; 9-2*"3 < 9; 2Х~3 < 1; х- 3 <
< 0; X < 3. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству X < 3, является число 2.
Ответ: 2.
1.039. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у ™ 2х , у - 4х.
¦fr Изобразим заданную фигуру (рис. 1.4). Ее площадь будем вычислять как разность площадей треугольника ОМА и криволинейной трапеции ОВМА. Абсцисса точки M находится
из уравнения 2х2 =~ 4х, и она равна 2, ордината точки M равна
1
8. Площадь треугольника OAM равна rj OA-AM -= 8. Площадь
2
криволинейной трапеции OBMA вычислим так: J2*2 dx -
о
2 зі2 16 16 8
— gX I0 — "g~. Значит, площадь фигуры OBMC равна 8 - "g" — g.
Ответ: 8/3-
1.040. Какими должны быть стороны прямоугольного участка площадью 1600 м29 чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала?
^ Обозначим через а и Ъ соседние стороны прямоугольника. Из условия следует, что ab =*¦ 1600. Общее количество материала, необходимое для ограждения прямоугольного участка со сторонами а и Ь, определяется выражением 2а + 2Ь.
Понятно, что минимум выражения 2а + 2Ь достигается при тех же условиях, что и минимум выражения а + Ь. Процедуру нахождения таких значений а и Ь выполним двумя способами.
1600
I с п о с о б. Выразим Ь через о : b ж а . Будем искать
1600
, положительное а, при котором функция / (а) =- а + при-
1600
нимает наименьшее значение. Находим / (а) — 1 — —%~ ¦*
а
а2-1600
— -2-• Положительным корнем уравнения г (а) — 0 явля-
а
ется число 40. При всех положительных а < 40 имеем /'(а) < < 0, и функция f (а) убывает; при всех а > 40 имеем /'(я) > 0, и функция / (а) возрастает. При а — 40 производная функции меняет анак с минуса на плюс и, следовательно, а — 40 — точка минимума функции / (а). Если а -= 40, то Ь — 40, т. е. участок имеет форму квадрата.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed