Алгебра и начала анализа - Звавич Л.И.
ISBN 5—7107—1115—2
Скачать (прямая ссылка):
41
В самом деле, справедлива цепочка соотношений: х4 —
- 2х2 + 3 - 3; X2 (X2- 2) - О; X1 - О; X23 - ±J2.
Ответ: при ош 3.
Вариант 3
1.013. Решите неравенство (0,25)2'6"0'6*2 > ^ .
¦» Запишем неравенство в виде (0,25)2»6 ~ 0^5*2 > (0.25)2. Так как у =« (0,25)* — убывающая функция, то полученное неравенство эквивалентно неравенству 2-,5 - 0,5X2 < 2, или х2 > 1. Решения последнего таковы: х < —1 и х > 1.
Ответ: (-оо;-1) u (1; +<»).
sin а - 0,5 sin 2а cos а
1.014. Упростите выражение -2- и найдите его
sin а
значение при а = —л/6 .
¦+ Разложив sin 2а по формуле двойного угла, запишем числитель дроби как sin а - sin а cos2 а -= sin а(1 - cos2 а) — ein3 а. Тогда исходное выражение будет равно віл OL При а — -я/б имеем sin а = -1/2.
Ответ: sin а; - 1/2-
1.015. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — Jx9 у - 0,5 х.
¦+ Изобразим заданную фигуру (рис. 1.2). Абсциссами
точек пересечения графиков у «¦ Jx и у — 0,5х являются 0 и 4. Искомую площадь вычислим как разность площадей криволинейной трапеции OBAP и треугольника АОР. Находим
1 1
SbAOP- 2ОР*АРжв Ъ "4-2-4;
4
Г Г~ ^ 3/21 16
sobap - J = з* I = "з" -
о
16 4
Площадь заданной фигуры равна g -4я g
Ответ: 4/3.
1.016. Решите систему уравнений
loff.12
Зх + у = 8
x2 + yZ-2xy = log2144-|log281
42
Рнс. 1.2
^ Используя основное логарифмическое тождество, перепишем первое уравнение системы в виде Зх + у — 12. Леную часть второго уравнения преобразуем по формуле квадрата разности, а
правую часть преобразуем так: log2 144 - <j log2 81 = log2 144 -- log2 9 - log2 16 - 4.
Тогда исходная система примет вид свою очередь равносильно совокупности
гЗх + у = 12, 1(х-у)2 = 4'
что в
Зж + у = 12,
х-у = 2,
Зх+у = 12,
х-у = -2.
Решением первой системы этой совокупности является пара X — 3,5, у — 1,5, а решением второй системы — пара х — 2,5, У - 4,5.
Ответ: (3,5; 1,5), (2,5,4,5).
1.017. Найдите длины сторон прямоугольника с периметром 20 см, имеющего наименьшую диагональ.
43
^ Пусть а и Ь — длины соседних сторон прямоугольника, а d — его диагональ. Тогда из условия следует, что а -г Ь « 10.
По теореме Пифагора d2 — о2 4 Ь2. Так как d положительно, то свое наименьшее значение d принимает при тех же а и Ь, при
которых минимально d2, причем по смыслу задачи а и & также положительны.
Теперь условие задачи можно сформулировать так: требуется найти положительные числа а и 6, удовлетворяющие
условию а + Ь — 10, при которых выражение а2 + Ь2 принимает наименьшее значение.
Выразив из известного соотношения Ь через а, запишем:
d2 = а2 + Ь2 * а2 + (10- а)2 - 2а2- 20а 4 10.
Поскольку а и & положительны, из неравенства Ь > 0 получим 10- а > 0, т. е. а < 10. Найдем а, при котором выражение 2а2 — 20а 4 10 на промежутке (0; 10) принимает наименьшее значение.
Исследуемое выражение — квадратный трехчлен. Его
20
наименьшее значение достигается при а ? • 2 "" Так как
5 є (0; 10), то наименьшее значение выражения 2а2 — 20а 4 10 в промежутке (0; 10) также достигается при а — 5.
В результате получаем, что d2 минимально при а-Ьв5, т.е. прямоугольник с периметром 20 см имеет наименьшую диагональ, когда каждая из его сторон имеет длину 5 см.
Ответ: все стороны равны 5 см.
1.018. Сколько корней имеет уравнание Xя — Зх3 — а при - 4 < а < 0?
^ Для ответа на вопрос задачи исследуем функцию / (х) —
х3 - Зх2 с помощью производной.
Находим f'(х) — Bx2 - 6х — Зх(х - 2), Критическими . точками функции являются 0 и 2. При х < 0 и при х > 2 имеем f'(x) > 0 и функция / (х) возрастает; при 0 < х < 2 имеем f'(x) < 0 и функция / (х) убывает. Составим таблицу монотонности функции:
х (-~;0) {0} ' (0; 2) {2}
Г + 0 — 0
t 0 -*
(2;+~) +
Учитывая, что / (-1) —-4, / (3) — 0, а также характер монотонности функции, отраженный в таблице, делаем вывод: в промежутках (—<»; 0), (0; 2) и (2; +«>) функция по одному разу принимает каждое значение от -4 до 0. Следовательно, при всех
а є (-4; 0) уравнение х3 — Зх2 — а имеет три корня — по одному на каждом из указанных промежутков. Для большей наглядности приведем эскиз графика функции / (х) — х3 - Зх2 (рис. 1.3).
Ответ: три корня.
44
Рис. 1.3
Вариант 5
1.025. Решите уравнение JZx-I — х- 2.
Произведем замену переменной: t = J2x — 1. Тогда х =
«2+1 t2 + l л 2 « о
— —2— » а уравнение примет вид t -« —g— ~* 2» или t — 2t - 3 —
-> 0, откуда *і ж -1, *2 = 3. Теперь вычислим ж. Уравнение
-1 — J2x— 1 не имеет решений, а из уравнения 3 =¦ J2x-1 находим х «¦ б. ч
Ответ: 5.
1.026. Решите неравенство log026 (5* ~ Ч ^ -0»5.
Представим -0,5 как log0 25 (0,25)-0*6, что равно log0 25 2. Функция у а 1°?о,25 ' является убывающей в области своего определения. Учитывая это, а также условие существования логарифма, от исходного неравенства перейдем к двойному неравенству 0 < 5х — 1 < 2. Решениями этого неравенства являются все X из промежутка (0,2; 0,6].
Ответ: (0,2; 0,6].
1.027. Первообразная функции / (х) — Зх2 + 2х при х — 1 принимает - вначение 81. Найдите ее значение при
45
¦+ Любая первообразная функции / (х) может быть записана в виде F{x) — х3 + х2 + С, где С — некоторая константа. Найдем С из условия F (1) - 81. Имеем 81 - I3 + I2 + С; С - 79. Тогда F(-l) - (-1)3 + (-1)2 + 79 - 79.
