Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


А + В = {А, но не В) + {Я, но не A) +AB =
= ЛЛ + #Л + ЛЯ.
По правилу сложения
р (Л + В) = P (AB) + P (ЯЛ) + P (AB). (2.2.9)
Но
Л = AB + AB; p (A) = P (AB) + P (AB); В = BA + AB; p(B) = p(BA) +p(AB))
откуда
Р(ЛЯ)==Р(Л)-Р(ЛЯ),| P (ЯЛ) = P (S)- P (AB) J
Подставляя выражения (2.2.10) в (2.2 9), нолучим P (Л+ Я) = - P (Л) - P (AB) + p(B)-p (AB) + + р (AB) = P (A) + p(B)-p (AB), Рис. 2.2.5
что и требовалось доказать.
Формулы типа (2.2.9) можно вывести и для более чем двух совместных событий, но мы на этом не будем останавливаться.
Предложим читателю самостоятельно вывести формулу для вероятности суммы трех совместных событий Л, BuC (рис. 2.2.6):
Р(Л + Я + С) = Р(Л) +
+ P (В) + p (С) - P (AB) - P (АС) - P (ВС) + p (ABC).
Заметим, что прием непосредствепного подсчета вероятностей (1.2.1) допускает иногда распространение и на случай, когда множество элементарных событий несчетно, например, представляет собой совокупность точек на плоскости внутри некоторой области Q (рис. 2.2.7). Опыт состоит в том, что в пределы области Q «случайным образом» бросается точка U. Выражение «случай-
48
ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ным образом» в данном случае означает, что все точки области Q «равноправны» в отношении попадания туда случайной точки U — она бросается «наугад», без какого-либо предпочтения одному положению перед другим. Тогда естественно считать, что вероятность попадания
Рис. 2.2.6 Рис. 2.2.7
точки V в какую-то область А (подмножество Q) пропорциональна площади этой области:
P (А) - P {U є А) = SA/SQf (2.2,11)
где SA — площадь области A1 S0- площадь всей фигуры Q.
На этом основан подсчет вероятностей в некоторых эадачах (иногда его называют «геометрическим»). Приведем некоторые примеры.
Пример 1. Два лица —Л и ? —условились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 13 ч. и 13 ч. 30 мин. и ждет в течение 15 минут. Если партнер к этому времени еще не пришел или уже успел покинуть условленное место, встреча не состоится. Найти вероятпость того, что встреча состоится.
Решение. Элементарное событие со характеризуется двумя параметрами: х — момент прихода А и у — момент прихода В. Будем изображать это событие точкой с координатами (х, у) на плоскости хОу. Выберем за начало отсчета 13 часов, а за единицу измерения — 1 час и построим на плоскости хОу пространство элементарных событии Q. Это есть квадрат со стороной 0,5 (рис. 2.2.8),
2.2. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
49
Событие С =* (встреча) произойдет, если разность между X и у по абсолютной величине не превзойдет 0,25 часа (15 мин.). Область C1 «благоприятная» этому событию, на рис 2.2.8 заштрихована. Ее площадь равна площади всего квадрата S0 = 0,52 ¦= 0,25 без суммы площа* дей двух угловых треугольников, не заштрихованных на рис. 2.2.8:
Sc - So - 2 .(1/2) • 0,252 - 0,1875. Отсюда P(O-ScZSq-O1TS. >
Пример 2. Стержень единичной длины произвольным образом разламывается на три части X1 у \и z (рис. 2.2.9). Найти вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник.
Решение. Элементарное событие сэ характеризуется двумя параметрами х VLy1 ибо г»1-(а; + у).
На них наложены ограничения: х>0, у>0, х + у< < 1. Пространство элементарных событий Q есть внутренняя часть прямоугольного треугольника с катетами, равными единице (рис. 2.2.10). Его площадь Sq s 1/2. Условие А, чтобы из отрезков X1 у, 1 — — (х + у) можно было составить треугольник, сводится к следую-
07
0,25 0,5 X Рис. 2.2.8
Рис. 2.2.9
0,5 1 X Рис 2.2.10
щим: 1) сумма любых двух сторон больше третьей; 2) разность любых двух сторон меньше третьей. Этим условиям соответствует треугольная область A1 заштрихованная на рис. 2.2.10 с площадью SA = (1/2)-(1/4); отсюда P(A)=* -SjJSq- 1/4. >
Пример 3. Задача Бюффона. Плоскость разграфле* на параллельными прямыми на расстоянии L друг от друга (рис 2.2.11). На плоскость произвольным образом бросается игла длины KL. Найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых,
50
ГЛ 2 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Решение. Исход опыта (положепие иглы на плоскости) будем описывать двумя координатами: абсцисса центра иглы относительно ближайшей прямой слева и ф —угол, который составляет игла с прямыми (рис. 2.2.12). Очевидно, что все значення х и ф равно-возможны (в этом и проявляется бросание иглы «иа-угад»). Очевидно, можно (не теряя общности) ограничить
V 1/2
L/2 ос
Рис. 2.2.11
Рис. 2.2.12
Рис. 2.2.13
возможные значения х участком от 0 до L/2, а ф-от О до я/2, рассматривая возможность пересечения только с одной (ближайшей левой) прямой. Прямоугольник па плоскости хОф со сторонами L/2 и л/2 (рис. 2.2.13) представляет пространство элементарных событий Й; S0 =* = Ы4. Если абсцисса х центра иглы будет меньше, чем
-у- sin ф, то игла пересечет прямую, интересующее нас
событие А = |я<4р8Іп ф| (см. заштрихованную область
на рис. 2.2.13). Площадь этой области л/а



