Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


M = {1, 2, ..., 100) = {г- целое; KK 100) =
= 0 = 1.....100}.
Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсциссой а не превосходит d, может быть записано в виде
S = {\x-a\ ^d) или S ¦=»{*: |*.-а|<Л,
где X — абсцисса точки.
Множество С точек на плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса г с цеіітром в начале координат, может быть записано в виде
С = {х2 + у2<г*} или С = {{х, у): х2 + у2^г*}}
38 ГЛ. 2, АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
где X1 у — декартовы координаты точки, или же
С = (р < г},
где р —- одна из полярных координат точки.
По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множество M = И, 2, ..., 100} конечно и состоит из 100 элементов. В частности, конечное множество может состоять из одного элемента.
Множество всех натуральных чисел N1 = H9 2, ... л, ...} бесконечно; так же бесконечно и множество четных чисел: N2 = (2, 4, ..., 2п, ...}. Бесконечное множество называется счетным, если все его члены можно расположить в какой-то последовательности, перенумеровать (оба множества Ni и N2 являются счетными).
Вышеупомянутые множества SnC оба бесконечны и несчетны (их элементы нельзя перенумеровать).
Два множества AnB совпадают (или равны), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения х2 — 5х + 4 = 0 совпадает с множеством (1, 4), а также с множеством (4, 1). Совпадение множеств обозначается знаком равенства: A=B.
Запись а є А означает: объект а является элементом множества А; другими словами, а принадлежит А. Запись а & А означает: а не принадлежит А.
Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элементарно обозначается символом 0.
Пример: множество точек плоскости, координаты которых х, у удовлетворяют неравенству х2 + у2^ —1:
{х2 + у2<-1) = 0. >
Все пустые множества равны между собой.
Множество В называется подмножеством (частью) множества A1 если все элементы В содержатся также и в А; обозначение B^A или А эВ.
Примеры: И, 2, 3)s{l, 2, 3, 100); {х2 + у2^ < l}sb2+ у2 ^ 2).
Подмножество может быть равно самому множеству:
(1,2,3, 4} ?{1,2, 3,4). >
Отношения подмножества и множества можно наглядно изображать с помощью геометрической интерпретации (рис 2.1.1), где элементами множеств являются точки на плоскости; каждая точка фигуры В принадле-
2.1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
39
жпт также и фигуре А\
В^А.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество С = А + В, состоящее из всех элементов А и всех элементов В (в том числе и тех, которые принадлежат и А и В). Короче: объединение двух множеств —это
совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.
Объединение множеств А и В часто обозначают A U Bx, Так как мы будем обычно называть объедипеиио событий их суммой, нам удобнее обозначать эту операцию знаком «+». Очевидно, что если ?si, то А + + B = A.
Примеры: 1) {1, 2, 100) + {50, 51, 200) =
-{I1 2..... 200); 2) {I1 2, 100}+ {1, 2..... 1000} =
«{I1 2, 1000J; 3) {х2 + у2 <2) + {х2 + у2<4) - {х2 + + у2<4).
Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В дана на рис. 2.1.2, где А и ? —множества точек, входящих соответственно в фигуры А и В.
Аналогично объединению двух множеств определяется объединение (сумма) нескольких мпожеств, а именпо
есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств Аи A2, An» Рассматриваются также объединения бесконечного (счетного) числа множеств, например:
{1, 2} +{2, 3} + {3, 4)+ ... + {/7-1, «} + ...«
-{1, 2, 3, /г, ...}.
Рис. 2.1.2
п
A1 + A2 + ... + An - 2 M
40 ГЛ 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество D = А В, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А и в В.
Пересечение множеств А и В часто обозначают А Л В, но мы (опять-таки в целях удобства) будем обозначать эту операцию знаком произведения «•» или «X», а иногда, как принято в алгебре, и совсем опуская этот знак. Очевидно, что если В s А, то AB = B.
Примеры: (1, 2, 10O)X X (50, 51, 200) = (50, 51, ... ,_. 100); (1, 2, 100) (1, 2, ...
Рис. 2.1.3 50}==={1» 21 50>- Геометри-
ческая интерпретация пересечения (произведения) двух множеств А и В дана на рис. 2.1.3.
Аналогично определяется пересечение нескольких
п
множеств; множество A1-A2*... • An= JJ Ai состоит из
i = l
элементов, входящих одновременно во все множества Аи A2, ..., An. Определение распространяется и на беско-
oo
нечное (счетное) число множеств: Ц Ai есть множество,
состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества Ai4 A2, ..., Л„, ...
Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных сложения и умножения чисел:
1. Переместительное свойство:
А + В = В + A; A B = B А.
2. Сочетательное свойство:
(А+В) + С = А+(В + С); {AB)C = А (ВС).



