Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
В данном случае нуль-гипотеза H0 состоит в том, что обе серии опытов однородны и что вероятность р появления события А в них одна и та же, приближенно равная частоте, которая получится, если обе серии смешать в одну:
р*р* = (к{ + A2)/ (л4 + H2). (11.8.9)
При достаточно больших щ и пг каждая из случайных величин Pi] р2 распределена практически нормально, с одним и тем же м. о.: р « р*. Что касается дисперсий D1 и D2 в первой и второй сериях, то они различны и равны соответственно:
D1^pI(I-Pl)Zn1I D2&p*2(l-p*2)ln2. (11.8.10)
Случайная величина R = р* — р* также имеет приближенно нормальное распределение с математическим
466 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ожиданием mR, равным нулю, и дисперсией
DR = D1 + D2« pi (1 - pD/n, + pt (1 - PX)In2x (11.8.11) откуда
or = V~DR & (1 - PtVn1 + РІ{\- p*2)ln2. (11.8.12)
Вероятность того, что с. в. R примет значение, не меньшее, чем наблюденное в опыте г0, равна
P {R > г0) « P {R > г0} - 1 - FR (г0)г
где Fr(x)— функция распределения с. в. R.
Из п. 6.3 мы знаем, что для нормального закона фупк-ция распределения равна:
f(*) = 0,5 + <I>(^).
В нашем случае
^(г0) = 0,5 + Ф
откуда
P {R >r0} = 1 - FR(r0) = 0,5 - Ф (А). (Ц.8.13)
Если вероятность (11.8.13) очень мала (не превосходит выбранного уровня значимости се), то гипотезу H0 следует отбросить, как противоречащую опытным данным; если же она не слишком мала, можно отнести расхождение между частотами за счет случайных причин.
Пример 4. Два стрелка, соревнуясь, дали по одинаковым мишеням из одинакового оружия первый — двадцать выстрелов, второй — шестнадцать (^1 = 20; W2 = 16). Первый попал в «десятку» к{ = 16 раз, второй к2 = 10 раз;
л -я- - °a л - їв- - °*625; л > ro = °*800 -
-0,625 -0,175.
Второй стрелок утверждает, что различие частот случайно, что вообще он стреляет так же хорошо, как первый. Проверить правдоподобие этой гипотезы, считая за уровень значимости а = 0,02,
Ii.9. ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ РАСХОЖДЕНИЙ
467
Решение. По формуле (11.8.12) находим:
По формуле (11.8.13):
Р{й>гЛ^О,5^ф(А)^о,5^ф(0^з)
0,122,
Эта вероятность заметно превосходит принятый уровень значимости а = 0,02; гипотеза H0 = {стрелки стреляют одинаково метко} не противоречит опытным данным. >
11.9. Проверка значимости расхождений между двумя средними
В данном пункте мы рассмотрим задачу, подобную той, которую мы решали в п. 11.8 (проверка значимости расхождений между двумя частотами).
Пусть имеется две серии опытов; первая состоит из W1, вторая — из тг2 опытов. В каждой серии регистрировались значения какой-то с. в. X. Первая серия дала
2 ^i2M /?, где индексами (1) и (2) вверху отмечены
\г=1 / /
значения, принятые с. в. X в первой и второй сериях опытов. Оказалось, что W1^m2, а разность между ними равна
Спрашивается, является ли значимым это расхождение, или же его можно объяснить за счет случайных причин? Уровень значимости принят равным а.
Снова выдвинем нуль-гипотезу Я0, состоящую в том, что в первой и второй сериях мы имеем дело с одной и той же с. в. Её м. о. приближенно равно статистическому среднему, взятому по материалам всех опытов (без
среднее
значение
вторая ml =
468 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
(11.9.1)
а дисперсия, вычисленная через второй начальный момент (для простоты берем слегка смещенную оценку Z)*, без поправки (л, + Ji2)I(Hi + п2 — 1); при больших и, и W2 этот поправочный коэффициент близок к единице), равна:
D* = (Jj [X^Y + S [X^ J{п, + и,) - (т*)\ (11.9.2)
Теперь рассмотрим две случайные величины: У4 и У2 — средние значения с. в. X в первой и второй сериях:
1 i=l 2 і=!
и найдем их числовые характеристики:
M [Y1] = M [F2] « т*; 1 D[Y1]^DVn1; D[Y2]^DVn2.} (1L9'4)
Разность двух средних значений
R = Y1 — Y2 = иг* — иг*
имеет математическое ожидание
тя = О
и дисперсию, равную сумме дисперсий величин Yi VL Y2I
DR » D*/nt + D*/n2 = (Пі + n2)D*/fa • w2), откуда _
Gn^ У (Пі +H2)DV(H1-H2). (11.9.5):
Вероятность того, что с. в. R примет значение, не меньшее, чем наблюденное в опыте г0, равна
P {R > г о) - 1 - R {R < Г0} = Fr (Г0), (11.9.6)
где FrLx)— функция распределения с. в. Z?t
разделения на серии):
11.9. ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ РАСХОЖДЕНИЙ
469
В п° 6.3 мы нашли выражение нормальной ф. р.: F(X) = 015 + ф(^),.
откуда
FR(r0)&0,5 + Q> Подставляя в (11.9.6), получим:
Р{Д>г0} = 0,5-ф(а), (11.9.7)
Если эта вероятность очень мала (меньше принятого уровня значимости а), то расхождение между двумя средними Y1 — Y2 = R надо признать значимым, а нуль-гипотезу #о отбросить, как противоречащую опытным данным; если она недостаточно мала — признать гипотезу H0 правомочной и отнести расхождение за счет случайных причин.
Пример. Испытано два образца ЭВМ одной и той же марки; для каждой проводились опыты по измерению времени безотказной работы T (суток). Для первого образца проведено H1 = 20 опытов, для второго W2 = = 16 опытов*). Результаты обеих серий опытов (время безотказной работы в часах) сведены в таблицу:
