Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


п
М[т]^^М[Хі]^^.п-т = т (11.7.1) и дисперсией
п
п i==1 п
и, значит, средним квадратическим отклонением:
о[т] = Ш7і = о/1п, (11.7.3);
где о — с. к. о. случайной величины x.
Для того, чтобы приближенно найти параметры нормального закона, по которому распределяется оценка т, можно, не вдаваясь в излишние тонкости, приближенно заменить в формулах (11.7.1), (11.7.3) неизвестные нам параметры т, D их оценками m, D. Получим:
М[т]жт) D[m] аД; о [т] « "j/*^. (11.7.4)
Допуская, что с. в. т имеет нормальное распределение с параметрами (11.7.4), найдем приближенно вероятность того, что оценка т отклонится от своего математического ожидания меньше, чем на є:
Р{\т-т\<г}ж 2Ф (-?Л (11.7.5)
\о [т\ j
где Ф(х)— функция Лапласа.
Пример 1. При обработке результатов п = 20 независимых опытов получены оценки математического ожидания и дисперсии т = 4,52 и B = 2,35. Найти вероятность того, что, полагая т = in = 4,52, мы не совершим ошибки, большей, чем е == ОД
460 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Решение. По формулам (11.7.4) находим: M \т] « 4,52; D [т] « 2,35/20 — 0,1175; о [т] « 0,343. По формуле (11.7.5) имеем: р {J т J < 0,3} = 2Ф (0,3/0,343) & 2 • 0,3093 « 0,618.
Итак, вероятность того, что ошибка от замены т на т не превзойдет 0,3, не настолько велика, чтобы считать это событие практически достоверным. >
Пример 2. Тот же вопрос, что в примере 1, но число опытов п = 100 (т = 4,52, D = 2,35),
Решепие.
D [т] = 2,35/100 = 0,0235; a [in] « 0,1533. P {I т — т \ < 0,3} = 2Ф (0,3/0,1533) « 2•0,4748 « 0,95,
Итак, «надежность» того, что, заменяя т на т, мы совершим ошибку не больше е = 0,3 при п = 100 опытах примерно равна 0,95. Если нам требуется большая надежность или большая точность при той же надежности, придется увеличить число опытов п. >
Теперь займемся точностью и надежностью оценки D для дисперсии D. Как мы знаем, эта оценка — несмещенная, и ее математическое ожидание равно D,
Запишем эту оценку в виде:
D = (Jl (Xi-m*)2^--!). (11.7.6)
Можно показать (мы этого делать не будем), что при п > 20 оценка В, независимо от распределения с. в. X1 распределена приближенно нормально, с параметрами
M[D]=Z); D [D] = ^i-J^L-^ (11.7.7)
где (Li4 и D — соответственно четвертый центральный МО-* мент и дисперсия случайпой величины X.
Величину |л4 можно в принципе приближенно заменить ее оценкой fi4:
\i=l
но такая оценка при малом числе опытов дает большие
11.7. ТОЧНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ ОЦЕНОК
461
ошибки. Если закон распределения с. в. X известен, то величину |л4 можно подсчитать. Например, для нормально распределенной св. X [a4 = 3D2, откуда (см. (11.7.7))
D[D]= —D2- " ~*D2 = -*-D\
lJ П П(П—• 1) Yl — 1
Заменяя в последнем выражении величину D ее оценкой В, получим:
(11.7.9)
Если с. в. X распределена равномерно на интервале (a. P), то
.. (?-«)4. п (?-«)a I**- 80 ' 12 *
откуда
ой»0В'%S2; а[5]=К61о]. (и.7.10)
В случае, если закон распределения с в. X нам неизвестен, рекомендуется в практических задачах пользоваться приближенным равенством (11.7.9).
Пример 3. Для условий примера 1 найти приближенно вероятность р того, что, полагая D = D = 2,35 мы не совершим ошибки больше, чем е = 0,50. ^
Решение. По формуле (11.7.7) находим M[D]« « D = 2,35. Воспользуемся второй формулой (11.7.9) для приближенного определения с к. о. случайной величины В: o[/J]« У2/(я-1)Л« 0,762.
Найдем вероятность того, что нормально распределенная с. в. D отклонится от своего м. о. D меньше, чем на 0,5:
p = P{\D-D\< 0,5} = 2Ф (0,5/0,762)« 0.488,
Таким образом, вероятность того, что ошибка от за-» мены дисперсии D ее оценкой D не превзойдет 0,5, равна р»0,488; эту вероятность нельзя считать большой. >
462 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
11.8. Оценка вероятности по частоте
В данном п. мы рассмотрим вопрос об оценке вероятности события по его частоте в серии из п опытов.
Начнем с того, что сколько-нибудь удовлетворительное представление о вероятности р события А можно получить только из обширной серии опытов, при большом п (см, хотя бы пример, приведенный в п. 1.3, где частота события А = {появление герба) очень медленно, как бы «нехотя», приближается, сквозь ряд случайных колебаний, к его вероятности /7 = 0,5).
При сравнительно малом п задача оценки вероятности по частоте, о точности и надежности этой оценки, является довольно сложной, и мы не будем на ней останавливаться *). Рассмотрим задачу при достаточно большом п и решим ее приближенно, как выше (в п. 11.7) решали задачу об оценках числовых характеристик случайной величины.
Пусть произведено п опытов, причем в X из них событие А произошло, а в (дг — X)— не произошло. Частота события А выражается формулой
р* = XIn. (11.8.1):
Так как опыты независимы, то с. в. X распределена по биномиальному закону с параметрами п и р. Мы знаем (п. 5.1), что м. о. случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, равно пр, где п число опытов, р — вероятность «успеха» (появление события А) в каждом опыте, а дисперсия св. X равна npq, где q = l-p.



