Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
at
= рНс(Щ ¦ Nc - pcft(ft) • Nn + lh ¦ Nh (9.64)
с индивидуальными интенсивностями миграции
Pch = v ехр {vc - vh}; phc = у ехр {vh - vc}, (9.65)
где полезности vc и Vh города и пригорода определяются уравнениями (9.41). Параметр v характеризует общую мобильность мигрантов между с и h и
Ъ = Фс-бсУ, yh = (?h-6h) (9.66)
являются скоростями воспроизводства населения в городе и пригороде.
с) Функции емкости
Функции емкости определяют связь межу уравнениями (9.57), (9.58) для городской конфигурации и уравнениями (9.62), (9.64) для конфигурации населения, потому что они появляются в обоих группах уравнений:
Cc(t) = Cc0 + KcNc(t), Ch(t) = Cho + KhNh(t). 1 '
Для участков j внутри города:
Cj(t) = f(j, t)Cc(t) = ^щ- ехр {-—^f } ¦ Cc(t). (9.68)
375
Глава 9
Региональная наука
Часть II. 4
9.4. Исследование решений уравнений модели
Рассматривая структуру уравнений (9.57)-(9.68) для системы «город—население», можно увидеть, что уравнения (9.63) и (9.64) после подстановки (9.41), (9.65) и (9.67) образуют систему двух независимых нелинейных дифференциальных уравнений для Nc(t) и Nh(t), которые описывают сектор населения.
9.4.1. Сектор населения
Все переменные Nc, Nf1, N; пс, nh, ft; Р, р являются функциями времени. (ЗнакЛ напоминает нам об их квазисреднем характере.)
Оказывается, что уравнения (9.63) и (9.64) могут быть упрощены, если коэффициенты воспроизводства в городе и пригороде совпадают. Поэтому сначала проанализируем этот случай.
Одинаковые коэффициенты воспроизводства в городе и пригороде
Предположим, что
Tc = Ih = T- (9.69)
Складывая уравнения (9.63) и (9.64), получаем, при условии (9.69), что
d^-=7(P)P(t), или ^=y(P)P(t). (9.70)
Видно, что эволюция общего населения P(t) не зависит от миграционного процесса между городом и пригородом. Это сохраняется, даже если коэффициент воспроизводства 7(P) все еп1е зависит от величины населения Р.
Рассмотрим два варианта j(P):
7(P) =7о = const, (9.71)
T(P) - 7о (l-—)- (9.72)
376
Эволюция городов и давление населения
Случай (9.71) описывает неограниченный рост населения, а (9.72) — случай насыщенного роста населения. Решения уравнения (9.70) имеют вид:
P(t)=p(t)P0 = zxp{lot}P0 (9.73)
или
P(t)=рт = ftexpfrotm (9.74)
Здесь P0 является общим населением во время t = 0 и Ps является уровнем насыщения общего населения, достигнутого при t = оо в случае (9.74).
Подставляя (9.73) и (9.74) в уравнения (9.63) и (9.64) и используя (9.70) и (9.65), получаем уравнения только для миграционного процесса, а именно:
dftc(t)
—TT* = -Phcftc + Pchfth =
dt
= v{- exp {vh - vc} ¦ nc + exp{vc -vh}-nh}, (9.75)
dnh(t)
-TT- = +phCnc - pchUh =
at
= exp {vh - г;с} • nc - exp {vc -vh}-nh}. (9.76)
Оба уравнения не являются независимыми, потому что имеет место соотношение (9.30). Введем разность п = пс - nh. Относительно этой величины получаем следующее уравнение:
dn(t)
—TT = \Pch ~ Phc) - (Phc + Pch) * п =
at
= 2v{ sin (vc - vh) - cos (vc - vh) • ft}. (9.77) Имеем функции полезности (9.41):
vc = S • Cc = s ¦ P0lCc = s ¦ [cc0 4- ncp(t)nc\, (9.78)
Vh = S-Cn = S- P01Cn = s ¦ [cho 4- Khp(t)nh], (9.79)
377
Глава 9
Региональная наука
Часть И.4
где
Сс0 = Ссо • P0; Ch0 = ch0 • P0. (9.80) Индивидуальные интенсивности перехода:
уch = V - ехр {vc - vh} = и ехр {a(t) + b(t) • п}, (9.81)
phc = v<exp{vh - vc} = i/exp{-a(t) - b(t) • ft}, (9.82)
где
a(t) = s
(CcO - C-ho) + - *h)p(*)
(9.83)
b(t) = -s(nc +
(9.84)
В эти соотношения входит относительное население р(і), которое определяется (9.73) или (9.74).
Подстановка (9.81) и (9.82) в (9.75) и (9.76) и также в (9.77) приводит к нелинейным уравнениям для ftc, fth и для ft.
Введем для дальнейшего обсуждения уравнения (9.77) эволюционный потенциал следующим образом:
аП = i/|ехр { a(t) + b(t)n} ¦ (1 - те) - ехр { - (a(t) + b(t)n) } • (1 + те)} =
dt
dV(n;t) du
(9.85)
Интегрируя правую часть уравнения, получим явное выражение для эволюционного потенциала (предполагая, что зависимость его от времени слабая):
V(n; t) = V[n; a, b] =
= i/|exp {a(t) + b(t)n}
-exp{-(o(«) + b(i)ft)}
b(t)n - 1
1
b2(t) b(t) b{t)n + 1 1
•. (9.86)
378
Эволюция городов и давление населения
Нетрудно заметить, что условия экстремума потенциала (9.86) и условие стационарности решения уравнения (9.85) совпадают:
dV(n,t) , п v
v =0. (9.87)
дп
ft=n(i)
После преобразований правой части уравнения (9.85) получим: 1 4- n(t)
In
2(a(t) + b(t)n(t)).
(9.88)
Если коэффициенты а и b были постоянными во времени, то уравнение (9.88) определяет точное стационарное решение уравнения (9.85).
Однако для зависящего от времени потенциала, т. е. для зависимых от времени коэффициентов a(t) и b(t), уравнение (9.85) вообше не имеет стационарных решений.
Тем не менее для медленно изменяющихся a(t) и b(t) существуют медленно изменяющиеся решения (9.85), которые обычно находятся в окрестности минимума медленно изменяющегося потенциала. Эти «почти равновесные» решения уравнения (9.85) приближенно характеризуются квазистационарными состояниями n(t).
