Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
V ={...; m,-, N,;...; т,, N,-;...} = {т, N}. (9.6)
9.2.2. Интенсивности перехода Элементарные изменения конфигураций
Рассмотрим элементарные изменения конфигураций — городской конфигурации и конфигурации населения.
» = {..., т\к\ ...}=> «?> = {..., (mf > ± 1),...}, (9.7)
n = {..., Л<">,...} => n?> = {..., (N^ ±1),...}, (9.8)
N = {...,WJa),...,W«,...}=*
=^-^ = (...,« + 1)....,(^-1),...}. (9.9)
Переход m => mj^ означает, что одна единица вида К была по-
(ЛГ)
строена на площадке г, и m => гш_ означает, что одна единица
362
Эволюция городов и давление населения
вида К была снесена на площадке г, в то время как все другие
(а)
площадки остались неизменными. Переходы N =» N}±' относятся к процессам рождаемости и смертности, соответственно, одного представителя субпопуляции на площадке г, и переход N =» относится к миграции одного представителя субпопуля-ции из площадки і на площадку j.
Интенсивности перехода
Переходы (9.7), (9.8) и (9.9) характеризуются вероятностными интенсивностями перехода. Их общая форма была рассмотрена в главе 3 и может быть применена к настоящей модели.
Для случая переходов (9.7) внутри городской конфигурации интенсивности переходов имеют вид:
wf (m|f, m; N) = «#(m; N) = pf exp {A* (m; N)},
wf (mf_\m; N) == «/?(m; N) = ?f exp {Af_(m; N)},
где
Д*(т; N) = tt(m|f, N) - u(m; N), Д*(т; N) = «(т|?}, N) - u(m; N).
Коэффициенты /xf характеризуют общую мобильность в соответствующем переходе. Они зависят от площадки і и вида К строений, но не от общей конфигурации {m; N}.
В этих выражениях и(т, N) есть меры «полезности» городской конфигурации и конфигурации населения {m, N}. Скорости перехода (9.10) зависят от разности полезностей после и до перехода. Эти различия полезностей играют роль «движущих сил». Если полезность после перехода выше (ниже), чем полезность до перехода, интенсивность перехода увеличивается (уменьшается).
Интенсивности перехода, приводящие в действие переходы (9.8) и (9.9), внутри конфигурации населения имеют вид:
<+(m;N?\N) =<t(m;N) = ?fN^\ (9.12)
(9.10)
(9.11)
363
Глава 9
Региональная наука
Часть IL 4
W1
?>; 1#>, N) =«S(m; N) = ^A?»
(9.13)
и
W,
?(m;N<?,N)=^
^,(m;N)=iV,(a)^[ni;N],
(9.14)
где
$[m; N] = i/?[m; N] ехр {Aj(m; N)}, A^(m;N) = <(m;N^)-Wf(m;N).
(9.15)
(9.16)
Интенсивности (9.12) и (9.13) являются скоростями рождаемости и смертности, соответственно. Интенсивность (9.14) характеризует миграцию кого-либо из представителей субпопуляции Т^а) с площадки і на площадку j. Поэтому ее можно рассматривать как индивидуальную интенсивность перехода.
Все эти характеристики зависят от мобильности передвижения представителей субпопуляции между площадками і и j (i/ji = vf3) и от разности (9.16) полезности после и до миграции с площадки і на площадку j.
9.2.3. Уравнения эволюции
После определения в общих формах интенсивностей перехода для всех элементарных переходов перейдем к выводу уравнений эволюции вероятностного распределения и уравнений квазисредних.
Основное уравнение
Используя общую методику главы 3 и феноменологические особенности данной задачи, запишем основное уравнение относительно
P(m; N; t) — вероятности реализации конфигурации {m; N} в момент времени t,
(9.17)
которая удовлетворяет условию нормировки:
364
Эволюция городов и давление населения
365
Глава 9
X)j>(m;N;t) = l. (9.18)
m,N
Будем иметь: dP(m;N;t) _
= E E К К-; N) -P(mf; N; *) - «$(т; N) • P(m; N; *)] +
к з
+ ЕЕ К N) ¦ P(BiJJ); N; *) - «r?(m; N) • P(m; N;*)] + + ЕЕ И(m; Nlo)) ¦ Р(т5 N^;*) - «#(т;N) • Р(т; N;*)] + + E H К О»: «І-) • р(т; Nj?; *) - <(т; N) • Р(т; N; <)] +
+ ЕЕ К ("J Ni?) • Р(т; NJ?; *) - ^(т; N) • Р(т; N; t)].
° *' (9.19)
Первая строка правой части уравнения содержит вероятностные потоки в и из конфигурации {m,N}, вызванные строительными процессами всех видов К на всех площадках j. Вторая строка содержит соответствующие потоки, вызванные процессами сноса старых построек. Третья строка содержит потоки в и из конфигурации {m.N}, вызванные миграционными процессами представителей субпопуляций из всех площадок і на все площадки і(ф і). Четвертая и пятая строчки содержат соответствующие вероятностные потоки, вызванные процессами рождаемости-смертности, соответственно.
Уравнения квазисредних
Для квазисредних значении га} и 2v> переменных модели уравнения имеют вид:
Региональная наука
Часть И. 4
(9.20)
dt
dN;
dt
X>?(m,ft)-?<-(m,ft) +
+ ti#(A, U)-Wj1(A, ft).
(9.21)
Сделаем некоторые допущения относительно емкостей площадок и их связи с емкостью городского пространства. Предположим, что «емкости» d отдельных площадок і связаны с емкостью города С с следующим образом:
где /(г) является функцией распределения емкостей. Для общих емкостей Сс и Cf1 города и пригородов, соответственно, предполагается, что они являются функциями соответствующих общих населений:
Основное уравнение (9.19) и уравнения квазисредних (9.20), (9.21) вместе с допущениями (9.22) и (9.23) описывают динамику развития городской конфигурации и конфигурации населения.
