Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 88

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 120 >> Следующая

(8.52)
В последующих разделах мы рассмотрим аналитически и в числовой форме особые случаи взаимодействия внутри и между группами, используя функции полезности (8.47-8.48) и уравнения стационарных состояний (8.49-8.52).
-(a)
[b-p(xf>
ср
[Ь-Р(х?}
ср
lb-Pi*?'
ср
[Ь-р(хГ+х?})]
341
Глава 8
Экономика
Часть И.З
8.3.1. Независимые группы
с внутригрупповым взаимодействием
В этом разделе мы «выключим» пока параметры межгруппового взаимодействия, записав
к"? = «?а = 0. (8.53)
Допустим, что внутренний параметр согласования в обеих группах одинаковый:
каа = кР? = к. (8.54)
Это означает, что зависит только от {х^\х^} и —
только от {xf \ х^}. В результате уравнения квазисредних представляются в виде:
dx^
dr
= sin
дх{/}
р = a,?; і = 1,2. (8.55)
Условия стационарности (8.49, 8.50) для группы и (8.51, 8.52) для группы теперь разделяются.
После введения для симметричных и антисимметричных переменных:
X
^ = х\а) +
(а)
(а) - «» _ «И
и уу ' = ж
'2 '
получим х^ = - (ж^ +V^) и а:
^ = 1(^)-3,(^).
(8.56)
Тогда с учетом (8.49) и (8.50) будем иметь:
= 0
2a(b - рх{а))х{а} - cp(x{a)1 - y{a)1) = 0. Аналогичные соотношения получаются для группы T^K
(8.57) (8.58)
342
Динамика потребления традиционных и модных товаров
Глава 8
Уравнения (8.57) и (8.58) имеют два решения, а именно, одно симметричное xf* = a?2^ или = 0 и одно несимметричное ф х^, или Ф 0. Симметричное решение имеет вид:
2аЬ
ys = Q; X8= (8.59)
(2а + C)P
Несимметричное решение имеет вид:
h)-~z- *±==^-11- (8-60)
Эти же решения (8.59) и (8.60) сохраняются для группы .
Так как допустимы только вещественные решения хи и уи, несимметричное решение (8.60) существует, только если параметр внутреннего согласования ас удовлетворяет двум условиям:
с ( о \ а
Оба условия (8.61) могут выполняться, если ас является достаточно большим. В ином случае может существовать только симметричное решение.
Если (8.61) выполняется, тогда существует, помимо симметричного, четыре несимметричных стационарных решения для обеих групп и , а именно:
(8.62)
Также возможно получить стационарное решение Pst (х^, х^,
(P) (Р)\
х{ ,х) ) основного уравнения, потому что для функции полез-
= xW (а) ~ Уи+1 Ую — У'и+ ,
X^ = x(?) — ^Ui у(«) — Уи-f-'i уФ) = Уи-,
X^ = xi?) „(") = Уи-\ уФ) = Уи+,
X^ = х& — •^u, у(«) = Уи-\ уФ) = Уи--
343
Экономика
Часть П.З
ности (8.47, 8.48), существует общая функция полезности U(X), которая удовлетворяет условию (8.34). Она представляется в виде:
U(X) = N [u^(xf,xf) + u^{xf\xf)], (8.63)
где
uM(x[»\xf})=aln(x\v\x{f) +
+ ein [b - V ¦ № + xf)] + *(a>> - xff, (8.64) Поэтому Pst{x{a)M?)) имеет, в соответствии с (8.43), форму:
Р<((х<*>,х<«)=рГ(*<а)) (8.65)
где
i#>(x«) =*[*<"> -*«Г' X
X [Ь - р ¦ (xf + xf)}Шс ехр [2JVk(XJ"» - xff]. (8.66)
Теперь продемонстрируем случай внутригрупповых взаимодействий посредством численного решения уравнений квазисредних (8.55) и стационарного основного уравнения. При этом будем использовать проекции четырехмерного пространства на двумерную плоскость переменных у(а) и у^.
Соответственно, представим редуцированное стационарное распределение вероятности:
Р„[УМ>Ут} = E P,t[xia\y{a\x{?\y(% (8.67)
где суммирование в (8.67) производится по всем возможным
ІЧЄІ
A?)
значениям переменных х^ и ж^ ятя данных переменных у^а) и у{
344
Динамика потребления традиционных и модных товаров
Рис. 8.3 Рис. 8.4
345
Глава 8
На рис. 8.1 изображен фазовый портрет для случая /с = О, т. е. для исчезающего внутреннего согласования, и на рис. 8.2, для случая /с = 0,2, т. е. для большого параметра внутренней согласованности, который выполняет условие (8.61) (Ъ = 10; р = 1, а = 1, с = 1).
Как и ожидалось, траектории сходятся на рис. 8.1 к стационарному состоянию = = 0, в то время как на рис. 8.2
Экономика
Часть II. 3
траектории достигают одного из четырех устойчивых стационарных состояний (8.62) в зависимости от начальных условий.
На рис. 8.3 представлено редуцированное стационарное распределение вероятности Pat(y^a\y^) для к = 0 и на рис. 8.4 — для к = 0,07 (а = 1; с = J; Ъ = 10; р = 1).
Для к = 0 распределение Pst(y^a\ У^) является унимодальным с пиком в устойчивом стационарном состоянии (у(а\ у^) = (0,0). Для /с = 0,07 распределение имеет четыре пика одинаковой высоты, потому что имеет место симметрия между товарами « = 1,2. Ширина этих пиков (максимумов) зависит от вероятностных колебаний покупательского поведения внутри членов групп
f>(a) и pi?) <
8.3.2. Группы с внутри- и межгрупповыми взаимодействиями
Теперь рассмотрим случай с обоими типами взаимодействий, в которых имеет место внутригрупповое согласование и межгрупповая имитация или снобизм. Взаимодействие этих типов играет, как уже было рассмотрено, заметную роль в потреблении модных товаров. Теперь не только параметр внутреннего согласования к = каа = крР (см. 8.54), но также и параметры межгруппового взаимодействия ка/3 и кРа существенно воздействуют на динамику системы.
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed