Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 86

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 120 >> Следующая

(8.17)
{xf-xf).(x?-xf)t
(8.18)
331
Экономика Часть П.З
предпочтения членов группы по отношению к одному из модных товаров. Поэтому мы определяем > О как параметр межгрупповой имитации. • Случай < 0. Здесь полезность межгруппового взаимодействия группы становится положительной, если члены группы предпочитают модные товары, отличные от потребляемых представителями группы , т. е. если (хр - х^) и (xf^ - х^) имеют различные знаки. Очевидно, в этом случае психология моды является снобистской, потому что члены группы получают удовлетворение от своей уникальности и отличия от группы V^K Поэтому к?? < 0 может быть определен как параметр межгруппового размежевания.
В общем случае полезность общей потребительской корзины X для группы имеет вид:
U^(X) = (х(">) + XX <f =
P і,ІФі
= Y1 а« In (*<">) + „« ln U) -Y»*f) +
I = I 4 i=l '
P і,ІФі
Коэффициенты of"1 и Avfj7 должны быть выбраны в соответствии с природой товаров (универсальных, традиционных или модных) и психологией группы (имитационной или снобистской).
Интенсивности перехода
Сейчас могут быть установлены интенсивности перехода для элементарных изменений в конфигурации спроса (8.3), (8.6). В силу независимости выбора каждым членом группы интенсив-
332
Динамика потребления традиционных и модных товаров
ности перехода имеют форму
= Nifi)w^(X) для Х=>Х?\
(8.20)
= W^(X) для Х=>Х,И,
где и являются индивидуальными интенсивностями перехода. Их общая форма была выведена в главе 3. Применяя эту форму к настоящему случаю и принимая во внимание уравнение (8.8), получаем:
wjfx = і№ ехр {U{?){X{^) - Uifl)(X)} й „ (,) (ди^Цх)
AJ I/V,v ехр < -г——
l dxf
(8.21)
wf\ = ехр {D^(X1H) - U^)(X)} и
^ ы Г ^)(х) и i/v/v ехр <---—
Вследствие допущения (8.8), индивидуальные интенсивности перехода зависят только от переменных х, а не от размера группы . Параметр описывает глобальную приспособляемость внутри группы . Допускается, что не зависит от X.
8.2.2. Уравнения динамики Основное уравнение
Обозначим P(X; t) вероятность реализации конфигурации спроса X в момент времени t. Вероятностное распределение P(X; і) нормировано:
]ГР(Х;*) = 1, (8.22)
X
333
Глава 8
Экономика
Часть II. 3
где сумма распространяется на все допустимые конфигурации. Основное уравнение (см. (3.35)) имеет вид:
i,fl
- E«"'«^ *) + 4"'(X)P(X; t)}. (8.23)
h?
Изменение с течением времени вероятности P(X; t) данной конфигурации X происходит под влиянием двух противоположных потоков вероятности, а именно: потока вероятности перехода в конфигурацию X из соседних конфигураций X1-^ и XJ^ (первая строка правой части уравнения) и потока вероятности перехода
из конфигурации X в соседние конфигурации XJU^ и XJ^ (вторая строка правой части уравнения).
Уравнения квазисредних
Для настоящей модели уравнения квазисредних имеют вид:
= <>(Х) - <(Х). (8.24)
Переходя к относительным переменным (8.4) и учитывая форму (8.20) интенсивностей перехода, получим уравнения квази-средних в следующем виде:
^ = »«(*)-»«(*), (8.25)
где размеры групп не появляются вследствие допущения (8.8).
Подставляя выражения для интенсивностей перехода (8.21), получаем уравнения квазисредних в форме
334
Динамика потребления традиционных и модных товаров
= 2v^> sm
dt
г = 1,2,... ,L; р, = \,2,... ,P.
Глава 8
(8.26)
Эта система представляет собой набор L • P автономных диффе-
-00
ренциальных уравнении квазисредних xf относительных переменных. Вместе с основным уравнением (8.23) уравнения (8.26) являются основой для анализа модели.
8.2.3. Стационарные решения и анализ устойчивости
Стационарные значения квазисредних
Мы начнем с анализа стационарных решений уравнений квазисредних (8.26). Условия стационарности имеют вид:
(~~рг) г = \,2,...,Ь; [1 = 1,2,..., Р. (8.27)
Условия (8.27) совпадают с условиями относительного экстремума для всех (х) (с учетом бюджетного ограничения (8.12)), полученными методом множителей Лагранжа. Поэтому поиск стационарного состояния динамических уравнений и поиск экстремума функций полезностей эквивалентны.
Это означает, что динамические уравнения включают стационарные состояния, которые полностью совпадают с теми состояниями, которые соответствуют экстремуму полезностей.
Это свойство сохраняется относительно условий экстремума второго порядка (условий максимума функций полезности). Действительно, как будет показано далее, условия устойчивости стационарного состояния полностью совпадают с условиями максимума функций полезности.
335
Экономика
Часть II. 3
Устойчивость стационарных квазисредних значений
Устойчивость стационарных решений уравнения (8.27) исследуется по линеаризованным уравнениям. Представим x*f\t) в виде:
*?"(t) = *?" + 6W(t). (8.28)
Линеаризуем уравнения (8.26) вокруг стационарного решения xf^:
Ht
(8.29)
pj
^ = 1,2,... ,Р; * = 1,2,... ,L, где коэффициенты
j^^f^m. (8.30)
Ь J
Представим решение уравнения (8.29) в виде:
^,(*) = Й,ехр{ЛІ}, (8.31)
где Л собственные значения, получаемые из уравнения:
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed