Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
316
Конкуренция между High-Tech фирмами
Сейчас возможно сравнить решения точного набора (7.61) и (7.62) связанных уравнений для X3 и q3 с приближенными решениями для параметра порядка (7.68), полученными для 7 <С 1 при применении принципа подчинения.
На рис. 7.4 и 7.5 показаны фазовые портреты {gb q2} уравнений для параметров порядка и {qi, q2}-проекции фазовых портретов для уравнений (7.61) и (7.62) с 7 = 1 и 7 = 2 соответственно.
Рис. 7.4. Фазовые портреты для уравнений (7.61, 7.62) (сплошные линии) и для уравнений (7.68) с ф = ] ,2фс и 7 = 1
Рис. 7.5. Фазовые портреты для уравнений (7.61, 7.62) (сплошные линии) и для уравнений (7.68) с ф = 1,2фс и 7 = 2
7.4. Усеченные основные уравнения для случая двух фирм
В разделе 7.3 мы увидели, что применение принципа подчинения к уравнениям квазисредних привело к значительным упрощениям. Теперь мы увидим, что применение этого же принципа также ведет к «усеченным» формам основного уравнения для двух фирм.
317
Глава 7
Экономика
Часть 11.3
7.4.1. Выведение усеченных и расщепленных уравнений
Как и в разделе 7.3.1 мы допускаем, что переменные предложения и пен Sj и Pj могут быть заменены своими «подчиненными» значениями Sj(n, Q) и Pj(п, Q). В этом случае потоки вероятности в правой части полного основного уравнения
2 2
E wsj+ (EjL)P(E7L; 0 - E <(Е)р№') +
2 2
+ !>/- (Ei+)p(EJV; 0 - E «#-(Е)р№') +
j=i j=i
2 2
+ E^(Ef-)p(Ei-' 0 - E«&(Е)Р(Е; *) +
J=I J=I
+Е<(Е^)р(ЕГ+^) -Е«Е)р№') <7-95>
J=I j=i
взаимно сокращаются.
После замены S и P на их подчиненные значения S(n, Q) и P(n, Q) получаем вместо (7.31) «усеченное» основное уравнение для распределения вероятности Р(п, Q; t) = Р(п\, п2, Qi, Q2; t):
dP(ni,n2, Q1, Q2-J) = dt
2 2
= E Q)pK, Q; t) - E «>jCo(n, Q)P(n, Q; *) +
J=I J=I
2 2
+ E w5(njo. Q)p(njo> Q; *) - E ^•(n, Q)P(n, Q; *) +
j=i j=i
318
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
j=i j=i
2 2
+ wUn> Qj+)P(^ qj+; *) - Y wUn> q)p(n' q; *)» (7-96)
j=i j=i
где интенсивности перехода следуют из (7.5), (7.9), (7.28) и (7.29): wfQ(n, Q) = P ехр {KrQj](N -щ- Ti2),
iu0j (п, q) = VTIj
и
t»?+ (n, q) = fjwfQ(n, q)-^(qm-I- Q3) =
7 , , (N-Ti] —п2) = Р-±-фехр{^У----f- V(Qm - 1 - Qi), (7.98)
wU^Q) = »-1--(kQj)-ti(QM-Qj). J к
Интенсивности перехода (7.97) и (7.98) ограничивают значения переменных, для которых P(n, q; t) могут быть положительными, конечной областью
Ti1 > 0; Ti2 ^ 0; (N-Ti1- п2) ^ 0;
(7.99)
0 ^ Qx ^ Qm; 0 ^ Q2 ^ QM.
Основное уравнение (7.96) для распределения вероятности четырех переменных все еще остается сложным. Однако при условиях, рассмотренных в разделе 7.3, ведущих к уравнениям параметра порядка (7.68) для переменных качества, основное уравнение (7.96) может быть далее упрощено и разбито на два отдельных «расщепленных» уравнения.
Напомним, что условием введения параметров порядка {<?і(т), q2(r)} была быстрота изменения переменных {х\,х2} и
319
Экономика
Часть П.З
соответственно {щ, Ti2}. Следовательно, быстрые переменные могут быть заменены их подчиненными значениями (см. И.З.З):
A1(Q) = Nx1(Q); U2(Q) = Nx2(Q). (7.100)
При этом условии допустимо заменить малые интенсивности перехода (7.98) на их приближенные выражения:
wf+(Q) = rjwfQ(u(Q), Q) • 0(QM - 1 - Qj);
(7.101)
Wf-(Q) = Wj-O(QM-Qj),
которые зависят только от переменных Q = {Q1, Q2}.
С интенсивностями перехода (7.97) и (7.101) вместо (7.97) и (7.98) основное уравнение (7.96) может быть решено в форме:
P(n,Q;t)=p(n\Q;t)P(Q;t), (7.102)
$>(n|Q;*) = l; ?)P(Q;*) = 1
п Q
(7.103)
и ?p(ii,Q;i) = l.
n.Q
Здесь два распределения вероятности р(п \ Q;t) и P(Q; t) удовлетворяют двум независимым основным уравнениям, а именно:
dj?(nJgQ— = wioK> Q)*K IQ;^(n, Q)p(n I Q; 0+
2 2
+ Z wg(ni0> Q)P(Dj01 Q; t) - Z w$-(n, Q)p(n I Q; i) (7.104)
j=i j=i
и
~~ = E <(Q*-m-;') - E <(Q)P(Q) +
J=I J=I
где
320
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
2 2
y=i j=i
Можно легко проверить, что P(n, Q;?) в форме (7.102) удовлетворяет полному основному уравнению (7.96) с интенсивностями (7.97) и (7.101), если р(п | Q;t) и P(Q; і) удовлетворяют (7.104) и (7.105) соответственно.
Форма (7.102) распределения вероятности может быть легко интерпретирована: вероятность P(n, Q; t) состоит из быстрой условной вероятности р(п I Q; t) и медленной вероятности P(Q; t).
Возможность аппроксимации (7.101) медленных интенсивно-стей перехода
wf+(n, Q) =» <+(A(Q), Q)
можно подтвердить тем, что условные средние значения
MQ;*) = X) M11IQ;*) (7Л06)
быстро достигают своих Q-подчиненных значений:
«J-(Q) = X^(11IQ)' (7Л07)
п
где pst(n I Q) является стационарным решением (7.104) для Q.
Стационарное решение pst(n | Q) может быть выписано в явном виде в соответствии с методами, приведенными в разделе 10.5, потому что для интенсивностей перехода (7.97) выполняются условия детального баланса. Получаем:
Pst(n\,n21 Q1Q2) =
ПWg(U1, ?;Q) n-f{ wg(y,0;Q)
321
Экономика
Часть II. 3
или в явной форме:
Рзі(щп2 I QiQ2) = , ' , ехр {/S(Ti1Qi + U2Q2)JPSt(0,0 | QiQ2),
