Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 82

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 120 >> Следующая

Z0 1 + 2z0
В результате получаем:
Z0
X1=X2 = X = Z0-t(Z0^0) = -—— (7.79)
1 4- Iz0
311
Экономика
Часть 11.3
Это решение описывает ситуацию с единой рыночной долей Xi = X2 и единым качеством товара Qi = Q2, который увеличивается при росте ф для обеих фирм Fi и F2.
Однако подробный анализ уравнения (7.75) показывает (см. [27] и [28]), что оно обладает для
еще двумя несимметричными решениями:
Zi = z+(0); Z2 = z_(0) или qi = q+ІФ); q2 = Я-(Ф)
и Zi = Z^ (ф); z2 = Z+ (ф) или qx = q- (ф); q2 = q~ (Ф) с соответствующими рыночными долями:
Xi = Z+ • г(z+, Z-); х2 = Z- • r(z+, z_) и = z_ • r(z+, z_); ж2 = Z+ • r(z+, z_), где до(ф), д+(ф) и отражены на рис. 7.1.
ф> фс =
1 -Ь2е
= 2,367879441...
(7.80)
е
0
Ф,
Ф
Рис. 7.1. Параметр качества до(ф) для симметричного и q-^іф), д~(ф) для несимметричного решений уравнения (7.75)
312
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
Последующий анализ устойчивости покажет, что симметричное решение (7.77), (7.79) неустойчиво для ф> фс, в то время как несимметричные решения (7.81), (7.82) — устойчивы.
Интересной особенностью этой дестабилизации симметричного рынка является то, что, хотя фирмы ведут себя стратегически эквивалентным образом (параметры тренда 77,7 и параметр качественной восприимчивости к одинаковы), тем не менее, нелинейное взаимодействие между производителями и потребителями ведет к нарушающему симметрию процессу бифуркации, если параметр конкурентности ф пересекает определенный критический порог фс. Результатом этого дестабилизационного процесса является то, что одна из фирм становится фирмой-победителем, а другая — фирмой-побежденной.
Анализ устойчивости
Для анализа устойчивости стационарных решений воспользуемся линеаризованными уравнениями симметричного рынка. Для несимметричного рынка можно двигаться аналогичными путями. Представим симметричные решения (7.77) и (7.79) в виде:
Xj(r)= X+ Cj(r); І = 1,2;
<ц(г) = ? + з = l>2>
где ?j(t) и Xj (т) являются малыми отклонениями от стационарного состояния. Удобно ввести симметричные и антисимметричные комбинации этих отклонений:
Ur) = Ш + Ш; Ur) = Ыг) - Ш'>
(7.84)
Xs(r) = X\(r) + Хг(т)\ XaS(r) = Хі(т) - x2(r). Для этих отклонений получаем два набора уравнений:
d?as / i\ > ,JL-I--7- = (-1)-6.-+0 4Xas\
ат (7.85)
^ =0 + !(q-l)Xas
313
Экономика Часть II. 3
^ = -(2е5"+1)6 + 0"1^,;
dr
(7.86)
= -2уфед?3 +т(д- I)Xs
Видно, что симметричные и антисимметричные отклонения не связаны друг с другом.
Уравнения (7.85) и (7.86) могут быть решены в виде:
Ш Xs(T)
U(T) Хаз(т)
Xc
exp {Asr};
exp {Aasr},
(7.87)
где X3 и Aas должны удовлетворять соответствующим характеристическим уравнениям:
l—Aas — 1
о
[-Aas+7(g-l)]
= О
(7.88)
[ - A5 - (2е*Ч 1)] <jTlq Их решения имеют вид:
AiV = (-1); а?) = 7(?-1)
и
= 0.
1
Л^--[(2в« + 1)-7(*-1)]±
(7.89)
(7.90)
± yjlfie" + J) + 70 - 1)] 2jqeu. (7.91)
314
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
Моды, относящиеся к Xa) и Ai2S, можно представить в следующем виде:
" (^ = ^(1+7(.-1^)' (7'92) Мы не выписываем менее интересные моды, относящиеся к A^ и xf\ Из выражений для собственных значений следует, что
(1 + 2е)
для q < 1, принадлежащего к ф < фс =-, (7.93)
е
все четыре собственных значения Xa}, Ха2}, XBl\ А? являются отрицательными или имеют отрицательные вещественные части. Поэтому симметричное стационарное состояние рынка является устойчивым для параметра конкуренции ф ниже порога фс. С другой стороны,
(1 + 2е) .
для g > 1, принадлежащего к ф > фс=-, (7.94)
е
по крайней мере собственное значение Ха2} становится положительным, так что соответствующая колебательная мода (7.87) экспоненциально возрастает и ведет к дестабилизации симметричной рыночной ситуации.
I ?{2) \ (2)
Форма с положительным собственным значением Ха8
\ Y{2) I
объясняет реакцию фирм на изменение качества товара. Если Fi немного повышает качество сверх q и одновременно приобретает новых потребителей X] сверх ж, в то время как F2 немного понижает качество ниже q и одновременно теряет несколько потребителей, так что X2 опускается ниже х, то такая флуктуация начинает расти, если ф > фс. Это соответствует достаточно
ВЫСОКОМУ ПОТребИТеЛЬСКОМу ВОСПРИЯТИЮ К И ОПераТИВНОСТИ 7]
315
Экономика Часть П.З
фирм. Дальнейшая эволюция малых отклонений от стационарного положения может только быть изучена посредством численного решения точных нелинейных уравнений.
7.3.3. Численное исследование уравнений квазисредних
Рассмотрим уравнения (7.68) для параметров порядка, которые являются хорошими аппроксимациями точных уравнений (7.61) и (7.62), если выполняется (7.65).
На рис. 7.2 и 7.3 изображены фазовые портреты {<?і(т), q2(r)} для значений ф = О,80с и ф = \,2фс.
Рис. 7.2. Фазовый портрет Рис. 7.3. Фазовый портрет
для ф = 0,80с для ф — 1,20с
Тогда как для ф = О,80с на рис. 7.2 все линии графика сходятся в единственной стационарной точке {qi = q2}, рис. 7.3 показывает, что для ф = 1,20с существуют две стационарные точки {?1 = q+, q2 = <?-} и {^1 = q-,q2 = q+}. В этом случае все траектории сходятся в одну из этих стационарных точек, в то время как симметричная стационарная точка {^1 = q2} является неустойчивым седлом.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed