Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
После исключения быстрых переменных (иногда это называется адиабатическим исключением) появляется система уравнений движения только для медленных переменных, которые определяются как параметры порядка.
Принцип подчинения также может быть применен к уравнению (7.48) при условии, что медленные переменные A^ и быстрые (f)
переменные Aj могут быть четко определены. Это означает, что константы релаксации и соответствующие интенсивности переходов быстрых переменных должны быть большими, а соответствующие показатели медленных переменных должны быть малыми.
Экономика
Часть И.З
Большое значение правой части уравнения (7.48) для быстрых переменных A^p ведет к быстрому достижению равновесных значений A^, для которых dAp/dt практически исчезают. Отсюда следует, что равновесные значения определяются из следующих уравнений:
О = «,<?{A^ А<"} - wp{A^, А<'>}, (7.50)
где j = 1, 2.
Уравнения (7.50) сейчас могут быть использованы для исключения переменных A^, т.е. для выражения их «подчиненных» значений A^ через значения медленных переменных A^. Давайте определим результат этого исключения в следующем виде:
A<'>=AW(A<"). (7.51)
После подстановки (7.51) в уравнения (7.48) для оставшихся медленных переменных получаем:
dA{s)
= wfl [A<'> (А<'>), А<'>] - wfl [№ (А<'>), A(s)]. (7.52)
Эти уравнения описывают приближенно эволюцию медленных переменных («параметров порядка») A^.
Адиабатическое исключение предложения и цен
Цены Pj и предложение Sj рассматриваются как быстрые переменные, которые адаптируются к значениям медленных переменных. Это означает, что мы рассматриваем константы релаксации ? и а как большие по отношению к р, 1, г\, у в уравнениях (7.43)-(7.47). «Подчиненные» значения Pj и §j, в соответствии с (7.50), следуют из уравнений:
0 = a(dj - Sj)Pj; (7.53)
0 = ?ej ¦ (Pj - С'(PNSj)), (7.54)
308
Конкуренция между High-Tech фирмами
Sj = ехр {kQj}x0; Pj = С' (PN ехр {kQj}x0) . (7.60)
Уравнения для Xj и Qj принимают простую форму: dx'
—3- = (1-х,- х2) - Xj\; j = 1, 2; (7.61)
-^=7(^(1-^1-^)-?}; j = 1,2. (7.62)
В этих уравнениях введены обозначения:
qj = kQj; (7.63)
Ф=—, (7.64)
7
309
Глава 7
где dj определяется из (7.40). Из (7.53) и (7.54) следует, что
Sj = dj = ехр {kQj - aPj}xQ; (7.55)
Pj = C'{i>Nsj(QJ,Pj,x0)). (7.56)
Для известной функции стоимости C(Sj) уравнения (7.55) и (7.56) могут быть решены для Sj и Pj, так что
§j = Sj[Qj, х0)\ Pj = Pj(Qj, х0). (7.57) Предположим, что
р = 1; (7.58)
а = 0. (7.59)
Равенство (7.58) означает, что параметр общего спроса P совпадает с обратным средним значением времени жизни товара р, а (7.59) — что мы предполагаем наличие «богатых» потребителей, которые более заинтересованы в качестве, а не в цене товара. Это допущение приемлемо для высокотехнологичных товаров, в которых потребители заинтересованы в такой степени, что они не обращают внимание на цены. В этом случае получаем из (7.55) и (7.56) адаптированные предложение S7- и цену Pj, как функции x0 и Qj:
Экономика
Часть И.З
где ф есть параметр конкуренции. Необходимо отметить, что числовое значения ф зависит от реакции потребителей (через к) и от реакции фирм (через rj и 7).
Переменные качества как параметры порядка
Рассмотрим случай, при котором
7<1- (7.65)
В этом случае качество товаров с\ и C2 меняется существенно медленнее, чем адаптируется покупательская активность потребителей.
Тогда снова можно применить принцип подчинения, который Теперь ПОЗВОЛЯет ИСКЛЮЧИТЬ быстрые Переменные Xj. Их
«подчиненные значения» Xj получаются из уравнений:
{еф(1 -X1- х2) - Xj} и 0; j = 1, 2, (7.66)
отсюда:
X] =--: X2
1 + + '
И Xq = (1 - Xi - X2)
1 4- е?1 4- ' 1 4- е?1 + e«2
1
(7.67)
J = 1,2. (7.68)
1 + 4- е«*
Подставляя эти значения в (7.62), получаем уравнения только для качеств qj, которые теперь являются медленными переменными (параметрами порядка):
dqi ( е* 1
После замены (где qj ^ 0; Zj ^ \ )
Zj = eq>; Qj=In(Zj) (7.69)
уравнения для параметров порядка принимают эквивалентную форму:
$=Ч*їт^-,пЧ: '' = 1-2- (7-70)
310
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
7.3.2. Анализ стационарных решений и их устойчивость Стационарные решения
Стационарные решения Xj,qj,Zj уравнений (7.61) и (7.62) могут быть получены путем приравнивания производных к нулю:
Q = Zj(I - X1 - X2) - xf, j = 1,2; (7.71)
Q = ф-Zj(I-X1-X^-In(Zj); ; = 1,2. (7.72)
Можно увидеть из (7.71), что
X0 = (1 - X1 - X2) = r(zb Z2) = 1-— (7.73)
(1 + z\ 4- Z2)
и поэтому
жі = z\t(z~i, Z2); ж2 = Z2T-(Z1, Z2) (7.74)
и
/(?) = ?^^ = 0T(Z11Z2) для і = 1,2. (7.75)
z3
Важным здесь является уравнение (7.75), решение которого необходимо искать в области:
О < qj < сю; 1 < Zj < оо, (7.76)
для всех значений 0 < ф < сю параметра конкуренции.
Из формы функций f(z) и r(z, z) видно, что для всех позитивных значений ф существует симметричное решение (7.75):
E1=Z2 = г0(ф); qx = q2 = q = go(0), (7.77)
которое удовлетворяет условию:
= ф • t(z0, Z0) = ф—~г~. (7.78)
