Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
щ = и0-с; Uj=Uj-c; у = 1,2, ...,L. (7.6)
Удобно выбрать с так, чтобы:
U0 = 0. (7.7)
Зависимость полезности от качества и цены предполагается линейной:
Uj = Uj(Qj, P3) = kQ) - aPj; j = 1,2,... ,L. (7.8)
В этом выражении параметр к, (^ 0) является мерой чувствительности потребителей к качеству, и а (^0) — мерой чувствительности потребителей к цене. Параметр Ъ > 0 описывает возможный эффект насыщения. В данной модели параметр Ь = 1.
Обратный переход
П = {П0, ... ,7Ij,... ,пь} => noj = {(п0+ 1),..., (TIj - 1),... ,nL}
имеет отношение не столько к самой полезности товара C7-, сколько ко времени жизни товара. Мы допускаем, что время жизни р~1 всех товаров C7- равное. Поэтому интенсивность перехода W0^ имеет вид:
W0J=PUj. (7.9)
Выражение интенсивности перехода Wj0 (7.5) идентично реализованному спросу Dj. Это означает, что число единиц с3-, купленных за единицу времени, есть:
Dj -wCj0 = v ехр {uj(Qj, Pj)} • по. (7.10)
Очевидно, величина
A3 = ^-=i>exp{uj(Qj,Pj)} (7.11)
имеет признаки функции потребления, обладающей следующими свойствами:
298
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
dAj 8Aj
—<0; —3- >0. 7.12)
Рассмотрим теперь характеристики предложения товаров. Элементарные изменения переменных S7-, Pj к Qj, j = 1,2,... ,L
Q р Q
моделируются интенсивностями перехода Wj±,Wj± и wj±, вызывающих увеличение или уменьшение переменных Sj, Pj И Qj соответственно на одну единицу.
Сначала выберем интенсивности перехода Wj+ и Wj_ для изменений производства Sj => (Sj + 1) и Sj => (Sj — 1), в соответствии с которыми фирма Fj приспосабливает свои поставки. Самым простым допущением является стремление каждой фирмы Fj увеличить свою прибыль при данных ценах P7-.
В стационарном случае максимизация прибыли:
Gj = PjSj -Cj(Sj), (7.13)
где Cj(Sj) — себестоимость за единицу времени, приведет к известному условию:
(Pi-Cj(S^)=O, (7.14)
где производная Cj (Sj) > 0 имеет смысл маржинальных издержек, т. е. изменения издержек при увеличении объема на одну единицу продукции.
В динамической ситуации фирма не может находиться в состоянии оптимизации своей прибыли в каждый момент времени. Поэтому величина (Pj — Cj(Sj)) может принять как положительные, так и отрицательные значения. Будем предполагать, что интенсивности перехода Wj+ и Wj_ являются функциями (Pj - Cj(Sj)). Эта функция должна быть выбрана таким образом, чтобы стимулировать переходы Sj, ведущие к оптимуму (7.14).
Для положительных значений величины (Pj — Cj(Sj)) будет существовать возрастающая склонность к увеличению производства, в то время как для отрицательных значений эта склонность исчезает.
299
Экономика Часть П.З
Реальные шаги по расширению или уменьшению производства фирмы Fj, вызванные положительными или отрицательными значениями (Pj - Cj(Sj)), будут измеряться в процентном отношении к существующему производству Sj. Хотя, с другой стороны, рассматриваются только шаги Sj =ф- Sj ± 1 в единицу времени, то предполагается, что интенсивность такого перехода пропорциональна величине:
Xj = (Pj-Ci(Sj)) •Sj. (7.15)
Будем иметь:
w3j+ = W8J+(Xj) =?-Xj- 0(Xj) ? 0;
= wSj_(Xj) = ? ¦ (-Xj) • 0(-Xj) ^ 0; (7.16)
отсюда wj_ (-Xj) = Wj+ (Xj), где ? параметр регулирования объема производства и где 0(X) = 1 для X ^ 0;
(7.17)
0(X) = 0 для X < 0.
Теперь рассмотрим интенсивности перехода wf+ и wf_ для регулирования цен Pj =ф- (Pj + 1) и Pj (Pj - 1).
Если существует положительный избыточный спрос (Dj -Sj), это ведет к соответствующей склонности фирмы поднять свою цену Pj, в то время как позитивное положительное производство (Sj — Dj) ведет к понижению цен. Индикатором этих ситуаций может служить величина:
Zj = (Dj-Sj)Pj. (7.18)
Тогда будем иметь:
wf+ = Wf+(Zj) = a-Zj- 0(Zj) ^ 0;
Wj_ = wf_(Zj) = a(-Zj)0(-Zj) ^ 0; (7.19)
отсюда wf-(-Zj) =wf+(+Zj).
300
Конкуренция между High-Tech фирмами
Глава 7
Несмотря на то, что интенсивности (7.16) и (7.19) определены вполне детерминированными соотношениями, реальное их измерение сопровождается ошибками. Это означает, что переменные XwZ- случайные величины с плотностью распределения р(0:
+00
P(o=P(-o>0 и j p(t) dt =1. (7.20)
Соответственно, средняя интенсивность перехода w(x) приобретает вид:
+00
W
(х) => w(x) = J p(i)w(x + (7-21)
Выбирая для случайной величины нормальное центрированное распределение с дисперсией v2, получим:
1 Г Є
Pv(O
V Vbr ЄХР I 2v2
(7.22)
Подставляя (7.22) в (7.21), получим усредненные интенсивности перехода:
wf+(Xj) = ?
1 + 0
wU-Xj)= Wf+(Xj)
2.еХРГ 1*
(7.23)
wj+(Zj) = a^ZJ--
wf.(-Zj) = wf+(Zj), где
1 + 0
Zi
ехр
2г.2 J J'
J Pv(O^ = -
= -ф{-
(7.24)
(7.25)
301
Экономика
Часть II. 3
Заметим, что различия между интенсивностями переходов в противоположных направлениях сохраняются, т. е.:
для — оо < Xj < +00, и с (7.19) и (7.24) следует:
wf+(Zj) - w]_(Zj) = wf+(Zj) - wf_(Zj) = aZj для - оо < Zj < 4-00.
(7.26)
(7.27)
Интенсивности перехода, влияющие на повышение и понижение качества товара, представим в виде:
