Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вайдлих В. -> "Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках" -> 43

Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.

Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. Под редакцией Попкова Ю.С. — M.: Едиториал УРСС, 2005. — 480 c.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка): socdinam2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 120 >> Следующая

Вид аттрактора можно определить, если выбрать в качестве AV (Р-С)-мерную сферу малого радиуса е(0), которая, стечением времени, деформируется в малый эллипсоид. Его главные оси ег(?) меняются экспоненциально:
6i(t) = e(0)ev. (4.105)
В этом равенстве параметры Аг- носят название показателей Ляпунова и определяются следующим выражением:
Xi = lim lim
t->oo е(0)->0
In
(4.106)
t є(0)
Так как в диссипативных системах величина AV сжимается, всегда выполняется следующее условие
У>,-<0. (4.107)
150
Миграция населения Глава 4
Различные случаи для показателей Ляпунова позволяют классифицировать аттракторы:
а) Если все Xi < 0, аттрактор является устойчивой фиксированной точкой.
б) Если А] = 0; Aj < 0 для і = 2, 3,..., PC, получаем предельный цикл как аттрактор.
в) Если Ai = A2 = 0; Xi < 0 для і = 3, 4,... , PC, тогда аттрактор имеет форму двумерного тора.
г) Если Ai > 0 (где Ai — наибольший показатель Ляпунова), тогда появляется «странный аттрактор». В этом случае размер эллипсоида будет приближаться к нулю при t —* оо, но хотя бы одна из его осей будет экспоненциально увеличиваться. Это означает, что дистанция между двумя близкими изначально точками будет расти с течением времени. Вернемся к миграционной системе (4.96) и последуем анализу
Райнера [20] для случая с двумя популяциями а = /х, v и тремя регионами і = 1, 2, 3, где
nf + nj +TiJ = JV1; пї+пї + nl = NV. (4.108)
Тем не менее все виды аттракторов, включая странные аттракторы, оказывается, проявляются в этом случае после соответствующего выбора четырех параметров тренда
««¦"»=(% U») <4Л09>
в функциях полезностей (4.100).
Исследуем область параметров трендов, для которых однородное распределение обеих популяций по трем регионам
Xi=I, где a = \i,,V и і =1,2,3 (4.110)
остается устойчивым. Используя стандартный прием, представим
= ??+?"(*), где ?40 = &Q(0)exp{Ai}. (4.111)
151
Демография
Часть ИЛ
Подставляя (4.111) в уравнение (4.96) и линеаризуя правую часть, получаем два собственных значения А:
\± = 3{(k™ + к™ - 1)±
± [(/с"" +-дГ - I)2 - ((2«"" - 1)(2kvv - 1) -4^V)] 1/2}. (4.112)
Стационарное решение (4.110) устойчиво, если вещественные части A+ и А_ отрицательные. Это приводит к условиям для параметров к,а@:
(к™ + к™ - \) < 0 (4.113)
и
[(2^-1)(2^-1)-4^^] >0. (4.114)
Условия (4.113) и (4.114) иллюстрируют рис. 4.5 а, б для tt?UK,V? = 1/16 и Ky? = -1/16, соответственно, с симметричными или антисимметричными взаимодействиями между популяциями и Vу. На рис. 4.5 показаны области устойчивости (заштрихованы) однородного распределения для ¦ ки(х = 1/16 (рис. 4.5 а) и ¦ KVfi = -1/16 (рис. 4.5 б).
152
Миграция населения
Глава 4
Рассмотрим миграционную систему в области параметров тренда, для которых однородное решение (4.110) является неустойчивым. Для этой цели выбираем матрицу параметров тренда следующего вида:
Условие (4.113) не выполняется для параметров (4.115), поэтому однородное распределение является неустойчивым.
Для выбранных значений кУ от KPfi = 0,6 до кУ11 = 3,0, а именно для а) к?* = 0,6, Ъ) к?1* = 1,5, с) кУ* = 1,6, d) tf* = 2,7, е) кУ* = 2,8, f) к?» = 2,87, g) кУ» = 2,895, h) кГ* = 2,9, і) кУ* = 3,0, имеем соответствующие предельные циклы и странный аттрактор. Рисунки с 4.6 а по 4.6 и отражают проекции траекторий на x\jx\ -плоскость (левые части рисунков) и Фурье-спектры ln[ajj(a7)] (правые части рисунков).
На рис. 4.6 0-4.6 и можно наблюдать следующие миграционные фазовые переходы: от а) до б) происходит переход от предельного цикла к странному аттрактору. Для значений кУ1*, относящихся к рисункам с 4.6 в до 4.6 з, система возвращается к предельному циклу. Переходы из г) к д), из д) к е), из е) к ж), из ж) к з) сопровождаются удвоением периода предельного цикла. Переход из з) к и) снова ведет к хаотическому движению.
Оценка двух наибольших показателей Ляпунова A1 и А2 для О ^ кУ^ ^ 7, представленных на рис. 4.7, подтверждает эту картину переходов. Предельные циклы существуют, если A1 = 0, A2 < 0, и странный аттрактор существует для A1 > 0 и A2 = 0. Случай = A2 = 0 не возникает, и аттрактор типа «тор» не появляется.
Заключение
Результат исследования миграционного хаоса в этом разделе показывает, что взаимодействия между двумя популяциями, такие как агломерационные и сегрегационные, могут привести, в случае
(4.115)
153
Демография Часть II. 1
3:---------------, О
Рис. 4.6 в
154
Миграция населения
Демография
Часть II. 1
частота
Рис. 4.6 и
156
Миграция населения
Глава 4
25
-<
';і'"'"''і;и:^'"ц;г
-25 -
0 1 2 3 4 5
Рис. 4.7. Два наибольших показателя Ляпунова Лі и A2 в области 0 ^ KV? ^ 7
трех или более регионов, к сложному динамическому поведению миграционной системы. Это ограничивает предсказуемость, как только мы попадаем в соответствующую область параметров тренда.
4.5. Конкретные применения миграционной теории
Рассмотрим некоторые результаты сравнительного анализа межрегиональной миграции в шести странах (Канада, Франция, Израиль, Италия, Швеция и Германия), проведенного экспертами из этих стран на основе описанной модели [21]-[23].
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 120 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed